4.23 べき級数

定義 4.95 (べき級数)   定数 $c_{0},c_{1},c_{2},\cdots,c_{n},\cdots$ と 変数 $x$ を考える． このとき級数

$$c_{0}+c_{1}\,x+c_{2}\,x^{2}+\cdots+c_{n}\,x^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}$$

をべき級数（power series）または 整級数（polynomial series）と呼ぶ． 同様に級数

$$c_{0}+c_{1}\,(x-a)+c_{2}\,(x-a)^{2}+\cdots+c_{n}\,(x-a)^{n}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^{n}$$

を $x-a$ のべき級数と呼ぶ．

定理 4.96 (べき級数)   級数 $\sum c_n x^n$ が $x=u$ で収束するとき， 絶対級数 $\sum \vert c_nx^n\vert$ は $\vert x\vert<\vert u\vert$ で収束する． よって級数 $\sum c_n x^n$ も $\vert x\vert<\vert u\vert$ で収束する．

（証明）    

$$\sum c_nx^n: \quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}c_nx^n=0\quad\Rightarrow\quad \vert c_nx^n\vert\leq M \quad\Rightarrow\quad \vert c_nx^n\vert=\vert c_nu^n\vert\left\vert\frac{x}{u}\right\vert^n\leq M\left\vert\frac{x}{u}\right\vert^n$$

$$\quad\Rightarrow\quad \sum\vert c_nx^n\vert\leq M\sum\left\vert\frac{x}{u}\right\vert^n \quad\Rightarrow \rho=\left\vert\frac{x}{u}\right\vert<1 \sum\vert c_nx^n\vert\leq \frac{M}{1-\rho}$$

$$\quad\Rightarrow \vert x\vert<\vert u\vert \sum \vert c_nx^n\vert$$

定義 4.97 (収束半径)   べき級数 $${\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$$ は $\vert x-a\vert<r$ において絶対収束し， $\vert x-a\vert>r$ において発散する． 定数 $r\ge 0$ を収束半径（radius of convergence）と呼ぶ．

例 4.98 (収束半径の具体例)   べき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}= 1+x+x^2+x^3+\cdots$$

を考える．$\sum\vert x^n\vert$ は $\vert x\vert<1$ のとき収束する （公比が $x$ の等比級数であるから）． よって $\sum x^n$ は $\vert x\vert<1$ のとき絶対収束する． よって収束半径は $r=1$ である．

例 4.99 (収束半径の具体例)   べき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

は任意の有限の実数 $x$ に対して絶対収束する（例題 ）． すなわち $\vert x\vert<\infty$ において収束する． このとき収束半径は $r=\infty$ と表わす．

定理 4.100 (収束半径の計算法)   べき級数 $${\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$$ を考える． 極限

$$r=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$$

または

$$r=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\vert c_{n}\vert}}$$

が存在するとき， べき級数 $\sum c_{n}(x-a)^{n}$ の収束半径は $r$ である．

（証明） 級数 $${\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n}$$ と その絶対級数 $${\sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert}$$ を 考える． このとき

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,(x-a)^n \leq \sum_{n=0}^{\infty}\vert c_{n}\,(x-a)^n\vert$$

であるので， $\sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ が収束するとき $\sum c_{n}(x-a)^n$ も収束する． $\sum a_{n}=\sum\vert c_{n}(x-a)^n\vert$ とおくと， $a_{n}=\vert c_{n}(x-a)\vert^n\geq0$ であるから $\sum a_{n}$ は正項級数となる． ゆえにダランベールの 収束判定法（定理 ）より， 級数 $\sum a_{n}$ は

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$$

のとき収束する． よって

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left\vert c_{n+1}(x-a)^{n+1}\right\ver... ...frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert \frac{\vert x-a\vert^{n+1}}{\vert x-a\vert^{n}}$$

$$= \vert x-a\vert\lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\vert<1$$

となる． これより

$$\vert x-a\vert< \frac{1}{\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left\ve... ..._{n}}\right\vert}}= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$$

を得る． 以上より収束半径は

$$r = \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert$$

と求まる． 同様にしてコーシーの 収束判定法（定理 ）より $${r=\lim_{n\to\infty}1/\sqrt[n]{\vert c_{n}\vert}}$$ が求まる．

例 4.101 (収束半径の計算例)   べき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$$

の収束半径を求める．$c_{n}=1$ であるから，収束半径は

$$r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{1}{1}\right\vert=1$$

と求まる． べき級数 $\sum x^n$ は $\vert x\vert<r=1$ のとき収束し， $\vert x\vert>r=1$ のとき発散する．

例 4.102 (収束半径の計算例)   べき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+ \cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

の収束半径を求める． $c_{n}=1/n!$ であるから，収束半径は

$$r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l... ...\to\infty}\left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty}(n+1)=\infty$$

と求まる．収束半径は $r=\infty$ である． べき級数 $\sum x^n/n!$ は任意の実数 $x$ に対して収束する．

例 4.103 (収束半径の計算例)   べき級数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+ \cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\cdots$$

の収束半径を求める． $c_{n}=(-1)^{n-1}/n$ であるから， 収束半径は

$$r=\lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \l... ...}\frac{n+1}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$$

と求まる． べき級数 $\sum (-1)^{n-1}x^n/n$ は $\vert x\vert<r=1$ のとき収束し， $\vert x\vert>r=1$ のとき発散する．

例 4.104 (収束半径の計算例)   べき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{2n}$$

の収束半径を求める． $y=x^2$ とおくと，べき級数は

$$\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}y^{n}$$

と書ける． $y$ の級数の収束半径は， $c_n=2^n$ とおくと

$$\tilde{r} = \lim_{n\to\infty}\left\vert\frac{c_n}{c_{n+1}}\right\vert= \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{2^{n+1}}= \frac{1}{2}$$

と求まる．級数は

$$\vert y\vert=\vert x^2\vert\le \tilde{r}=\frac{1}{2}$$

のとき収束する． よって，$x$ については

$$\vert x\vert\le r=\sqrt{\tilde{r}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

のとき収束するので， $x$ についての収束半径は $${r=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である．

平成21年6月1日