4.20 正項級数に関するコーシーの収束判定法

定理 4.82 (コーシーの収束判定法)   正項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\ (a_{n}\geq0)}$$ は， 極限

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$$

により，級数の収束性の判定ができる：

(i)

$0\leq L<1$ のとき， $\sum a_{n}$ は収束する．

(ii)

$L>1$ のとき， $\sum a_{n}$ は発散する．

(iii)

$L=1$ のとき， $\sum a_{n}$ の収束性は判定できない．

例 4.83 (コーシーの収束判定法)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n-2}{3n-5}\right)^{n}}$$ を考える．

$$a_n=\left(\frac{n-2}{3n-5}\right)^{n},$$

$$L= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lef... ...{n-2}{3n-5}= \lim_{n\to\infty}\frac{1-2/n}{3-5/n}= \frac{1-0}{3-0}= \frac{1}{3}$$

が成り立つので， コーシーの収束判定法より， $L=1/3<1$ となるので $S$ は収束する．

例 4.84 (コーシーの収束判定法)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}$$ を考える．

$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2},\quad L= \lim_{n\to\infty}\s... ...1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}= e$$

が成り立つので， コーシーの収束判定法より， $L=e>1$ となるので $S$ は発散する．

平成21年6月1日