4.22 絶対収束級数

定理 4.89 (絶対収束級数の収束定理)   級数 $\sum\vert a_n\vert$ が収束するとき，級数 $\sum a_n$ も収束する．

（証明）有限部分和

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\,\qquad T_{n}=\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+\cdots+\vert a_{n}\vert$$

を考える． 絶対値の性質より

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\leq \vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+\cdots+\vert a_{n}\vert=T_{n}$$

が成り立つ．これより

$$S_{n}+T_{n}=(a_{1}+\vert a_{1}\vert)+(a_{2}+\vert a_{2}\vert)+\cdots+ (a_{n}+\vert a_{n}\vert)\leq 2T_{n}$$

となる． $a_{n}+\vert a_{n}\vert\geq0$ より $S_{n}+T_{n}$ は正項級数である． 正項級数 $2T_{n}$ が収束するとき $S_{n}+T_{n}$ もまた収束する． よって $T_{n}$ が収束するとき，$S_{n}$ も収束する．

定義 4.90 (絶対収束級数)   $\sum a_{n}$ が収束し，かつ $\sum\vert a_{n}\vert$ も収束するとき， $\sum a_{n}$ は絶対収束する（absolutely convergent）という． このとき級数 $\sum a_{n}$ を 絶対収束級数（absolutely convergent series）と呼ぶ．

定義 4.91 (条件収束級数)   $\sum a_{n}$ は収束するが $\sum\vert a_{n}\vert$ が収束しない場合は， $\sum a_{n}$ は条件収束する（conditionally convergent）という． このとき級数 $\sum a_{n}$ は 条件収束級数（conditionally convergent series）と呼ぶ．

例 4.92 (絶対収束級数の具体例)   等比級数の例題で示したように $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}}$$ は収束する． 交項級数の例題で示したように $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}$$ は収束する． よって $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}$$ は 絶対収束級数である．

例 4.93 (条件収束級数の具体例)   交項級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$ は 前述の例題で示したように収束する． $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ は調和級数であり 前述の例題のとおり発散する． よって $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$ は 条件収束級数である．

例 4.94 (絶対収束級数の収束定理の具体例)   級数

$$S =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\,,\qquad (x\in\mathbb{R})$$

を考える． このとき

$$T =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}= 1+\vert x\... ...}{2}+\frac{\vert x\vert^3}{3!}+\cdots+ \frac{\vert x\vert^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots$$

が成り立つ． ダランベールの判定法の例題で示したように， $T$ は収束する． $\sum\vert a_{n}\vert$ が収束するとき $\sum a_{n}$ も収束するので， $T$ が収束するとき $S$ もまた収束する． $S$ は絶対収束級数である．

平成21年6月1日