1.37 平面と平面の交線

注意 1.177 (平面と平面の共通集合は直線)   $x$, $y$, $z$ に関する非同次 1 次方程式の一般形は

$$ax+by+cz+d=0$$

である．この方程式は $xyz$ 空間内の 法線ベクトルが $\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\\ [-.5ex]{c}\end{bmatrix}$ で点 $(0,0,-d/c)$ を通る平面を表す． 非同次 1 次方程式を 2 本の方程式で連立すると

$$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, \quad a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$

である．方程式のそれぞれは法線ベクトルが $\begin{bmatrix}{a_1}\\ [-.5ex]{b_1}\\ [-.5ex]{c_1}\end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix}{a_2}\\ [-.5ex]{b_2}\\ [-.5ex]{c_2}\end{bmatrix}$ の 平面を表す． よって， この連立方程式の解集合は， 2 つの平面の共有点の集合である直線

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$ (244)

となる． ただし， 交線をもつのは 法線ベクトル $\begin{bmatrix}{a_1}\\ [-.5ex]{b_1}\\ [-.5ex]{c_1}\end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix}{a_1}\\ [-.5ex]{b_1}\\ [-.5ex]{c_1}\end{bmatrix}$ とが同じ向きではないときに限られる．

例 1.178 (平面と平面の交線)   二つの平面

$$x-y-z=-1,\qquad 2x+y+4z=1$$ (245)

の交線を求める． 第一式を $-2$ 倍し第二式の加えると

$$x-y-z=-1,\qquad 3y+6z=3$$ (246)

となる． 第二式を $3$ で割ると

$$x-y-z=-1,\qquad y+2z=1$$ (247)

となる． 第二式を第一式に加えると

$$x+z=0,\qquad y+2z=1$$ (248)

となる．$z=t$ とおくと

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-t \\ -... ...{bmatrix}-1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ (249)

を得る． 交線は点 $(0,1,0)$ を通る 方向ベクトル $\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ の直線である．

例 1.179 (平面と平面の交線)   連立方程式

$$x-y-z-2=0, \quad 2x+y-z-5=0$$

で定まる直線を考える． この直線は 2 つの平面の共有点である． 第 2 式から第 1 式を引いて $z$ を消去すると

$$x+2y-3=0$$

であり，第 1 式と第 2 式を足して $y$ を消去すると

$$3x-2z-7=0$$

となる． これらより

$$x=\frac{y-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z+\frac{7}{2}}{\frac{3... ...d\Rightarrow\quad \frac{x}{2}= \frac{y-\frac{3}{2}}{-1}=\frac{z+\frac{7}{2}}{3}$$

を得る． 直線は点 $(0,\frac{3}{2},-\frac{7}{2})$ を通り， 方向ベクトル $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ の直線である． また，パラメータ表示すると

$$x=2t, \quad y=-t+\frac{3}{2}, \quad z=3t-\frac{7}{2}$$

である．$t$ は任意であるから， $t$ を $t+\frac{1}{2}$ と置き換えると，

$$x=2t+1, \quad y=-t+1, \quad z=3t-2$$

となり，式が簡単となる． このとき平面の方程式は

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+2}{3}$$

となる．直線は点 $(1,1,-2)$ も通る．

平成20年2月2日