1.36 $\mathbb{R}^3$ における点と平面との距離

定理 1.173 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   $\mathbb{R}^{3}$ 空間内の点 $A(x_{0},y_{0},z_{0})$ と 平面 $ax+by+cz+d=0$ を考える． 点 $A$ と平面との距離は

$$\frac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ (238)

である．

問 1.174 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   これを示せ．

（証明） 点 $A(\vec{x}_{0})$ と平面 $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$ とし，

$$\vec{x}_{0}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{bmatrix}... ...d \vec{x}_{0}-\vec{q}= \begin{bmatrix}x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}+c/d \end{bmatrix}$$ (239)

とおく．

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})= ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\,,\quad \Vert\vec{n}\Vert= \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$ (240)

より，

$$\frac{\vert\vec{n}\cdot(\vec{x}_{0}-\vec{q})\vert}{\Vert\vec{n}\Vert}= \frac{\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ (241)

を得る．

例 1.175 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ との距離は

$$\frac{\vert 2\cdot1+3\cdot(-2)-4+1\vert}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}= \frac{\vert-7\vert}{\sqrt{14}}= \frac{7}{\sqrt{14}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (242)

である．

例 1.176 ( $\mathbb{R}^3$ の点と平面との距離)   点 $A(1,-2,4)$ の平面 $2x+3y-z+1=0$ への 正射影は $B(2,-1/2,7/2)$ であるから 点 $A$ と平面との距離は点 $A$, $B$ の距離に等しい． すなわち，

$$\overline{AB}= \sqrt{ \left(1-2\right)^2+ \left(-2+\frac{1}{2}\ri... ... }= \sqrt{ 1+\frac{9}{4}+\frac{1}{4} }= \sqrt{\frac{14}{4}}= \sqrt{\frac{7}{2}}$$ (243)

である．

平成20年2月2日