1.10 演習問題 〜 直線

問 1.46 (内分点)   次の内分点，外分点を求めよ．
    (1)   $\mathbb{R}^2$ の 2 点 $(1,1)$, $(2,3)$ を $1:2$ に内分する点．
    (2)   $\mathbb{R}^3$ の 2 点 $(1,1,-1)$, $(1,-3,2)$ を $3:2$ に内分する点．
    (3)   $\mathbb{R}^3$ の 2 点 $(1,4,8)$, $(4,-2,2)$ を $2:3$ に内分する点．
    (4)   $\mathbb{R}^3$ の 2 点 $(1,4,8)$, $(4,-2,2)$ を $2:1$ に内分する点．
    (5)   $\mathbb{R}^4$ の 2 点 $(1,1,-1,2)$, $(0,1,-2,5)$ を $2:7$ に内分する点．
    (6)   $\mathbb{R}^2$ の 2 点 $(1,1)$, $(2,3)$ を $-1:5$ に外分する点．
    (7)   $\mathbb{R}^3$ の 2 点 $(1,1,-1)$, $(1,-3,2)$ を $3:-2$ に外分する点．
    (8)   $\mathbb{R}^4$ の 2 点 $(1,1,-1,2)$, $(0,1,-2,5)$ を $-3:4$ に外分する点．

問 1.47 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   点 $(3,5)$, $(2,-1)$ を通る直線の方程式を求めよ．

問 1.48 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   点 $(3,5)$ を通り方向ベクトルが $${\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}}$$ の直線の方程式を求めよ．

問 1.49 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   点 $(3,5)$ を通り法線ベクトルが $${\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}}$$ の直線の方程式を求めよ．

問 1.50 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   傾きが $2$，$y$ 切片が $-1$ の直線の方程式を求めよ．

問 1.51 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   $x$ 切片が $2$，$y$ 切片が $-1$ の直線の方程式を求めよ．

問 1.52 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   次の $\mathbb{R}^2$ の直線に関して， 傾き，$y$ 切片，$x$ 切片， 方向ベクトル，法線ベクトルを求めよ． また，この直線に直交し原点を通る法線を求めよ．
    (1)  $y=3x-2$     (2)  $3x-2y+5=0$     (3)  2 点 $(3,2)$, $(1,-2)$ を通る直線
    (4)   $${\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}}$$     (5)   $${\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1}$$

問 1.53 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   次の $\mathbb{R}^2$ の直線をパラメータ表示で表せ． また，直線の方向ベクトル，法線ベクトル， $x$ 切片，$y$ 切片，傾きを求めよ． さらには，この直線に直交し点 $(1,2)$ を通る法線を求めよ．
    (1)  点 $(1,-1)$, $(2,3)$ を通る直線     (2)  点 $(0,2)$, $(1,0)$ を通る直線
    (3)  点 $(-3,1)$, $(4,2)$ を通る直線     (4)  点 $(2,1)$, $(5,-1)$ を通る直線
    (5)   $${\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{4}}$$     (6)   $${\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{-3}}$$     (7)   $${\frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{5}}$$
    (8)   $${\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}}$$     (9)  $y=2x-1$     (10)  $y=-2x+3$     (11)  $y=4x-3$     (12)  $y=-3x-5$
    (13)  $3x+2y+5=0$     (14)  $-x+y+1=0$     (15)  $2x-y-2=0$     (16)  $-x-3y+1=0$
    (17)   $${\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1}$$     (18)   $${\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1}$$     (19)   $${\frac{x}{-3}+\frac{y}{-5}=1}$$     (20)   $${\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1}$$

問 1.54 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線)   点 $(2,1,3)$ を通り 方向ベクトルが $${\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$ の 直線の方程式を求めよ．

問 1.55 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線の方向ベクトルと直線上の点を 1 つ答えよ．
    (1)   $${\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{3}}$$     (2)   $${\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{-1}}$$     (3)   $${\frac{x}{-2}=y=-z}$$
    (4)   $${x=3,\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}}$$     (5)   $${x=3,y+2z+1=0}$$     (6)   $${y=-1,\frac{x+2}{-3}=\frac{z}{2}}$$
    (7)   $${y=-1,2x+3z+4=0}$$     (8)   $${z=2,\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}}$$     (9)   $${z=2,3x+2y=1}$$

問 1.56 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   次の 2 点を通る $\mathbb{R}^3$ の直線を パラメータ表示と成分表示で表せ．
    (1)  点 $(1,2,-1)$, $(0,2,1)$     (2)  点 $(1,2,-1)$, $(0,1,2)$     (3)  点 $(0,1,2)$, $(-1,2,-1)$
    (4)  点 $(4,0,2)$, $(2,-1,0)$     (5)  点 $(0,1,2)$, $(3,-1,0)$

問 1.57 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   $\mathbb{R}^3$ の 3 点 $(-2,4,5)$, $(1,p,2)$, $(0,1,q)$ が， 1 直線にあるような $p$, $q$ の値を求めよ．

問 1.58 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線と直交し点 $(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ． また，その交点を求めよ．
    (1)   $${\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$     (2)   $${\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}}$$

問 1.59 (線形結合)  

$$\begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}=p \begin{bmatrix}1 \\ 0 ... ...in{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+r \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

をみたす $p$, $q$, $r$ を求めよ．

平成20年2月2日