1.9 $\mathbb{R}^3$ における直線の方程式

注意 1.41 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式)   直線 $\vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{p}\in\mathbb{R}^3$ を考える． ここで

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{x}... ...\ z_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$ (58)

とおく． $\vec{x}$ は点 $Q(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{p}$ の直線である． 成分をまとめて書くと

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0} \\... ... c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0}+at \\ y_{0}+bt \\ z_{0}+ct \end{bmatrix}$$ (59)

である． これを 直線の方程式のパラメータ表示と呼ぶことにする． また， $t$ についてまとめると 直線の方程式は

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$$ (60)

と表される． これを $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の成分表示 と呼ぶことにする．

注意 1.42 (直線の方程式の成分表示)   直線の方程式

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$ (61)

は$3$ 変数，$2$ 本の 連立方程式であることに注意する．

問 1.43 (直線の方程式の成分表示)   $\mathbb{R}^n$ の直線の方程式の成分表示を求めよ．

例 1.44 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2,-1)$, $B(-1,3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線は点 $A$ を通り，方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ である． すなわち，

$$\vec{x}_0=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{b... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (62)

とおく． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmat... ...x}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2t \\ 2+t \\ -1-t \end{bmatrix}$$ (63)

である．$t$ を消去して 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{1}= \frac{z+1}{-1}$$ (64)

である． この方程式は 3 元 2 連立の方程式であることに注意する． 例えば第 1, 2 式と第 2, 3 式の組で連立を組むと

$$\left\{ \begin{array}{l} x+2y-5=0 \\ -y-z+1=0 \end{array} \right.$$

となる．

例 1.45 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   2 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$ を通る $xyz$ 空間内の直線を考える． この直線の方向ベクトルは

$$\vec{p}=\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{... ...{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

である．直線のパラメータ表示は

$$\vec{x}(t)= \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix} = \... ...}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1+2t \\ 1-t \\ -2+3t \end{bmatrix}$$

となる． $x=1+2t$, $y=1-t$, $z=-2+3t$ で $t$ を消去すると， 直線の方程式

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+2}{3}$$

を得る． この方程式は 3 元 2 連立の方程式であることに注意する． 例えば第 1, 2 式と第 2, 3 式の組で連立を組むと

$$\left\{ \begin{array}{l} -x-2y+3=0 \\ 3y+z-1=0 \end{array} \right.$$

となる．

平成20年2月2日