2.16 2 変数関数と 2 変数関数の合成関数の微分

定理 2.69 (合成関数の微分) 2 変数関数と 2 変数関数 $x=\phi(u,v)$ , $v=\psi(u,v)$ の合成関数 $z=f(\phi(u,v),\psi(u,v))$ の偏微分は

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}$

$\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \fr... ...tial x}{\partial v}+ \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

で与えられる．代入も含めて書くと

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial u} f(\phi(u,v),\psi(u,v))$	$\displaystyle = f_x(\phi(u,v),\psi(u,v))\phi_u(u,v)+ f_y(\phi(u,v),\psi(u,v))\psi_u(u,v),$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial v} f(\phi(u,v),\psi(u,v))$	$\displaystyle = f_x(\phi(u,v),\psi(u,v))\phi_v(u,v)+ f_y(\phi(u,v),\psi(u,v))\psi_v(u,v)$

と表される．

例 2.70 (合成関数の微分の具体例) 関数と関数 , の合成関数の偏導関数を求める．まず，

	$\displaystyle z_{x}=y^2+2xy=(u-v)^2+2(u+v)(u-v)=3u^2-v^2-2uv,$
	$\displaystyle z_{y}=2xy+x^2=2(u+v)(u-v)+(u+v)^2=3u^2-v^2+v^2+2uv,$
	$\displaystyle x_{u}=1,\qquad y_{u}=1,\qquad x_{v}=1,\qquad y_{v}=-1$

より，

	$\displaystyle z_u=z_xx_u+z_yy_u= (3u^2-v^2-2uv)+(3u^2-v^2+v^2+2uv)=6u^2-2v^2,$
	$\displaystyle z_v=z_xx_v+z_yy_v= (3u^2-v^2-2uv)-(3u^2-v^2+v^2+2uv)=-4uv$

を得る．

例 2.71 (合成関数の微分の具体例) 関数と関数 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ の合成関数の偏導関数を求める．まず，

	$\displaystyle z_{x}=y^2+2xy=r^2(\sin^2\theta+2\cos\theta\sin\theta),$		$\displaystyle z_{y}=2xy+x^2=r^2(2\cos\theta\sin\theta+\cos^2\theta),$
	$\displaystyle x_{r}=\cos\theta, \qquad y_{r}=\sin\theta,$		$\displaystyle x_\theta=-r\sin\theta, \qquad y_\theta=r\cos\theta$

より，

	$\displaystyle z_r=z_xx_r+z_yy_r= 3r^2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)$
	$\displaystyle z_\theta=z_xx_\theta+z_yy_\theta= r^3(1+3\sin\theta\cos\theta)(\cos\theta-\sin\theta)$

を得る．

Kondo Koichi
平成18年1月18日

2.16 2 変数関数 と 2 変数関数の合成関数の微分

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