8 逆行列

定義 3.45 (逆行列)   行列 $A$ に対して

$$AB=BA=E$$ (496)

を満たす行列 $B$ が存在するとき， 行列 $B$ を行列 $A$ の逆行列（inverse matrix）と呼ぶ． $A$ の逆行列は $A^{-1}$ と表記する．

問 3.46 (逆行列の性質)   逆行列をもつのは正方行列のみである． これを示せ．

（証明） $AB=BA$ を満たす行列は可換な行列である． 可換な行列は正方行列のみである．

定理 3.47 (逆行列の一意性)   行列 $A$ が逆行列をもつとき，逆行列は一意に定まる．

（証明） $B$ と $C$ が $A$ の逆行列であると仮定する． このとき $AB=BA=E$, $AC=CA=E$ が成り立つ． これを用いて

$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$ (497)

となる．よって $B=C$ であり $B$ と $C$ とは一致する．

定義 3.48 (行列の正則性)   正方行列 $A$ が逆行列をもつとき， $A$ は正則（regular）であるという． 正則な行列を正則行列（regular matrix）と呼ぶ．

定理 3.49 (逆行列をもつ十分条件)   正方行列 $A$, $B$ が $AB=E$ または $BA=E$ の どちらか一方だけを満たすときでも $B$ は $A$ の逆行列となる．

（証明） 証明はずっとあとに行なう．

定理 3.50 (逆行列の計算法)   行列 $[A\vert E]$ を簡約化して $[E\vert B]$ の形に変形できたとする． このとき $B$ は $A$ の逆行列 $A^{-1}$ となる．

（証明） 行列 $A$ に基本変形 $P^{(*)}$ を繰り返し行ない 単位行列 $E$ に変換されたとする． このとき

$$A\overset{\text{簡約化}}{\longrightarrow} E\,,\quad E=(P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)})A$$ (498)

と書ける． $A$ の左にかかっている行列をまとめて $B$ と書くと，

$$B=P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)}$$ (499)

となる． $B$ を用いれば $BA=E$ が成り立つ． 前述の定理より $BA=E$ のとき $B$ は $A$ の逆行列 $B=A^{-1}$ となる． よって行列 $B$ を求めればよい． $B$ は

$$B=P^{(*)}P^{(*)}\cdots P^{(*)}E$$ (500)

と書ける． これはすなわち $A$ に行なった基本変形と同じ操作を $E$ に 対して同じ順で行なうことを意味する． これらの操作を同時に行なうには， 行列 $[A\vert E]$ に対して簡約化を行い $[E\vert B]$ の形にすればよい． この一連の操作により $BA=E$ を得る．

例 3.51 (逆行列の計算例)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$ (501)

を考える．この行列の逆行列を求める． 行列 $[A\,\vert\,E]$ に基本変形を次のように繰り返し行なう：

$$[A\,\vert\,E] = \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] -1$$ (502)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] -2$$ (503)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] 2$$ (504)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & -1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ (505)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ (506)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 0 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] -1$$ (507)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 0 & -4... ...& 3 & -1 &-1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]=[E\,\vert\,A^{-1}]\,.$$ (508)

よって，$A$ の逆行列

$$A^{-1}= \begin{bmatrix}-4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (509)

を得る．

定理 3.52 (行列の正則性と緒性質)   正方行列 $A$ に対して次の(1)-(5) は同値である：

(1)

$\mathrm{rank}\,(A)=n$.

(2)

$A$ の簡約化は $E$ である．

(3)

任意の $\vec{b}$ に対して $A\vec{x}=\vec{b}$ は一意な解をもつ．

(4)

$A\vec{x}=\vec{0}$ は自明な解 $\vec{x}=\vec{0}$ のみをもつ．

(5)

$A$ は正則である．

（証明） $(1)\Rightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(1)$， $(3)\Leftrightarrow(5)$ を示す．

$(1)\Rightarrow(2)$ を示す． $A$ は $n\times n$ 型でフルランクであるから， 簡約化は明らかに $E$ となる．

$(2)\Rightarrow(3)$ を示す． 簡約化により $[A\,\vert\,\vec{b}]\to[E\,\vert\,\tilde{\vec{b}}]$ となるので， 方程式は $E\vec{x}=\tilde{\vec{b}}$ となる． よって解として一意な解 $\vec{x}=\tilde{\vec{b}}$ をもつ．

$(3)\Rightarrow(4)$ を示す． $\vec{b}=\vec{0}$ のとき $\tilde{\vec{b}}=\vec{0}$ であるから， 解として $\vec{x}=\vec{0}$ のみをもつ．

$(4)\Rightarrow(1)$ を示す． 定理 より， 同次形方程式が自明な解のみをもつ必用十分条件は $\mathrm{rank}\,A=n$ である．

$(3)\Rightarrow(5)$ を示す． $\vec{b}=\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}$ のときの解を それぞれ $\vec{x}=\vec{c}_{1},\vec{c}_{2},\cdots,\vec{c}_{n}$ とする． このとき

$$A\vec{c}_{1}=\vec{e}_{1},\quad A\vec{c}_{2}=\vec{e}_{2},\quad \cdots A\vec{c}_{n}=\vec{e}_{n}$$ (510)

$$\Rightarrow\quad A \begin{bmatrix}\vec{c}_{1} & \vec{c}_{2} & \cd... ...= \begin{bmatrix}\vec{e}_{1} & \vec{e}_{2} & \cdots & \vec{e}_{n} \end{bmatrix}$$ (511)

$$\Rightarrow\quad AC=E$$ (512)

となる．$C$ は $A$ の逆行列である． よって $A$ は正則である．

$(5)\Rightarrow(3)$ を示す．

$$A\vec{x}=\vec{b}\quad\Rightarrow\quad A^{-1}A\vec{x}=A^{-1}\vec{b... ...arrow\quad E\vec{x}=A^{-1}\vec{b}\quad\Rightarrow\quad \vec{x}=A^{-1}\vec{b}\,.$$ (513)

定理 3.53 (逆行列による解法)   正方行列 $A$ が正則なとき方程式 $A\vec{x}=\vec{b}$ は 解 $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ をもつ．

例 3.54 (逆行列をもたない具体例)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$ (514)

の逆行列を考える． 例題 と同じように計算を行なう：

$$[A\,\vert\,E] = \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] -3$$ (515)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] -2$$ (516)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] -1$$ (517)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] -2$$ (518)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & -1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right] 2$$ (519)

$$\longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & -1 & -... ...2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right]\,.$$ (520)

これより行列 $A$ の簡約化は

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (521)

となる．よって $\mathrm{rank}\,(A)=2<3$ となる． 定理 の $(1)\Leftrightarrow(5)$ より $A$ は正則ではない． よって $A$ は逆行列をもたない．

例 3.55 (逆行列を用いた解法の具体例)   方程式

$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} ... ...x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ (522)

を考える． $A\vec{x}=\vec{b}$ とすると $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$ より 解が求まる． よって

$$\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}= \begin{bmat... ...in{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}$$ (523)

を得る．

定理 3.56 (逆行列の性質)   正方行列 $A$, $B$ が正則のとき次の関係式が成り立つ：

(1)

$(A^{-1})^{-1}=A$．

(2)

$({A}^{T})^{-1}={(A^{-1})}^{T}$．

(3)

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$．

問 3.57   これを示せ．

（証明） (3) を示す．

$$(AB)(B^{-1}A^{-1})=ABB^{-1}A^{-1}=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E\,.$$ (524)

$$\Rightarrow\quad (AB)(B^{-1}A^{-1})=E\,.$$ (525)

$$\Rightarrow AB B^{-1}A^{-1}$$ (526)

$$\Rightarrow\quad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\,.$$ (527)

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26