4 行列の簡約化

連立一次方程式

$$(1)\quad x+y=1$$ (367)

$$(2)\quad \left\{\begin{array}{ccccc} x & & + & 2z & = 1 \\ & y & + & z & = 2 \end{array}\right.$$ (368)

を考えよる． これらの方程式は 解が一意には定まらない例である． このような方程式の解を具体的に求める．

方程式(1)を変形すると

$$y=1-x$$ (369)

である． この式より $x$ は任意の値をとることが可能であり， $y$ はその与えられた $x$ の値に対して一つ値が一つ定まる． よって解として

$$\left\{ \begin{array}{l} x=c\\ y=1-c \end{array} \right.$$ (370)

を得る． ただし $c$ は任意の定数とする． また解は

$$\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c \\ 1-c \end... ... \\ 1 \end{bmatrix} +c \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}= \vec{q}+c\,\vec{p}$$ (371)

と書ける． よって解全体がなす集合は点 $\vec{q}$ を通り 方向ベクトル $\vec{p}$ の直線となる．

方程式(2)の解を求める． 方程式を書き直すと

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x & = 1 & -2z \\ y & = 2 & -z \end{array}\right.$$ (372)

となる． 左辺には $x$, $y$ があり， 右辺は $z$ のみである． 右辺の $z$ に値が与えられれば， その $z$ に対応して左辺の $x$, $y$ の値が定まる． よって $c$ を任意の値として $z=c$ とおくと， 解として

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2c \\ ... ...\ 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}= c\,\vec{p}+\vec{q}$$ (373)

を得る． 解全体の集合は 3 次元空間 $\mathbb{R}^3$ 内の 点 $\vec{q}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}$ の直線である．

拡大係数行列はそれぞれ

$$(1)\quad [A\,\vert\,\vec{b}]= \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 &... ...ft[ \begin{array}{ccc\vert c} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (374)

となる． もっと一般には次のような行列を考える．

定義 3.15 (階段行列)   行列が

$$\left[\begin{array}{cccccccc} \!1\! & ** & \!0\! & ** & \!0\! & *... ... \\ \vdots& & & & & & &\vdots\\ 0 &\cdots& & & & &\cdots & 0 \end{array}\right]$$ (375)

という形をしているとき， この行列を簡約な行列または 階段行列と呼ぶ． また， 各行の一番左の 0 ではない成分を主成分と呼ぶ．

例 3.16 (簡約な行列の具体例)   次の行列は簡約な行列である：

$$\begin{bmatrix}0 & 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & ... ...& 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,,\quad$$ (376)

$$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0... ... & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$$ (377)

定義 3.17 (簡約化)   行列 $A$ に基本変形を繰り返し， 簡約な行列 $B$ を得ることを簡約化と呼ぶ．

例 3.18 (簡約化の計算例)   簡約化の具体的な計算例を示す：
(1)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (378)

$$1/2$$ (379)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$$ (380)

(2)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$ (381)

   （第二行目と第三行目を入れ替える．） (382)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 1/3 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=B$$ (383)

(3)

$$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (384)

$$-3$$ (385)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (386)

$$-2$$ (387)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=B$$ (388)

(4)

$$A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ (389)

   （第一行目を第三行目を入れ替える．） (390)

$$\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 3 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}=B$$ (391)

定理 3.19 (簡約化の一意性)   任意の行列は基本変形により一意に簡約化できる．

定義 3.20 (行列の階数)   行列 $A$ を簡約化した行列を $B$ とする． このとき 行列 $A$ に対する行列の階数（rank）を

$$\mathrm{rank}\,(A) = B$$ (392)

と定義する．

例 3.21 (階数の具体例)  

$$A\overset{\text{簡約化}}{\longrightarrow} B= \begin{bmatrix}1 & 2... ...& 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,,\qquad \mathrm{rank}\,(A)=2\,.$$ (393)

例 3.22 (階数の具体例)   例 の行列の階数：

$$(1)\quad \mathrm{rank}\,(A)=2 (2)\quad \mathrm{rank}\,(A)=2$$ (394)

$$(3)\quad \mathrm{rank}\,(A)=3 (4)\quad \mathrm{rank}\,(A)=3$$ (395)

定理 3.23 (階数に関する定理)   行列 $A$ が $m\times n$ 型のとき，

$$\mathrm{rank}\,(A)\le m\,, \qquad \mathrm{rank}\,(A)\le n\,$$ (396)

が成り立つ．

問 3.24   これを示せ．

問 3.25   教科書（p.27）問題2.2．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26