3 連立一次方程式の基本変形

定義 3.8 (連立一次方程式の基本変形)   連立一次方程式に対する次のの操作を 連立一次方程式の基本変形と呼ぶ．

(1)

一つの式を $\alpha\,(\neq0)$ 倍する．

(2)

二つの式を入れ替える．

(3)

一つの式を $\alpha$ 倍して別の行に加える．

連立一次方程式に基本変形をして得られた方程式と 元の方程式とは等価な方程式である． すなわち両者は同じ解をもつ．

連立一次方程式とその行列表現は，方程式としては等価なものである． 連立一次方程式の基本変形は， 行列表現では次の行列の行の基本変形となる．

定義 3.9 (行列の行の基本変形)   行列に対する次の操作を 行列の行の基本変形 （matrix elementary row transformation）と呼ぶ．

(1)

一つの行を $\alpha\,(\neq0)$ 倍する．

(2)

二つの行を入れ替える．

(3)

一つの行を $\alpha$ 倍して別の行に加える．

定理 3.10 (掃き出し法)   拡大係数行列 $[A\vert\vec{b}]$ に基本変形を繰り返し行ない，

$$[A\vert\vec{b}] \to \left[ \begin{array}{cccc\vert c} 1 & & &\sma... ...& & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}&& & 1 & \tilde{b}_{m} \end{array} \right]$$ (344)

の形に変形ができたとする． このとき解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}\tilde{b}_{1} \\ \tilde{b}_{2} \\ \vdots \\ \tilde{b}_{m} \end{bmatrix}$$ (345)

と得られる． この解法を 掃き出し法（sweeping-out method）または ガウスの消去法（Gaussian elimination）と呼ぶ．

例 3.11 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

$$\left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y & =5 \end{array}\right.$$ (346)

を考える． 基本変形を繰り返し行なう． 連立方程式とその拡大係数行列

$$\left\{ \begin{array}{cccc} 2x & + & 3y & =8 \\ [1ex] x & + & 2y ... ...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$$ (347)

に基本変形をほどこす． 第二式を $-2$ 倍し第一式に加えると

$$\left\{ \begin{array}{cccc} & & -y & =-2 \\ [1ex] x & + & 2y & =5... ...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$$ (348)

を得る． 第一式と第二式を入れ換えて

$$\left\{ \begin{array}{cccc} x & + & 2y & =5 \\ [1ex] & & -y & =-2... ...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$$ (349)

となる．第二式を $2$ 倍し第一式に加えると

$$\left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & -y & =-2 \end... ...quad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array}\right]$$ (350)

となる．第二式を $-1$ 倍すると

$$\left\{ \begin{array}{cccc} x & & & =1 \\ [1ex] & & y & =2 \end{a... ...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (351)

を得る．結局拡大係数行列は

$$\left[\begin{array}{cc\vert c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}... ...t] \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (352)

と変形された． 以上より，解は $(x,y)=(1,2)$ と求まる．

例 3.12 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex] -x & + & 2y & + & 2z & =1 \\ [.5ex] x & + & y & - & z & =-2 \end{array}\right.$$ (353)

を考える． 拡大係数行列に基本変形を繰り返し行なう． 連立一次方程式とその拡大係数行列

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} 2x & + & 3y & - & z & =-3 \\ [.5ex]... ...vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$$ (354)

に基本変形をほどこす． 第三行を $-2$ 倍して第一式に足すと

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] -x & +... ...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$$ (355)

となる． 第三行を第一式に足すと

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} & & y & + & z & =1 \\ [.5ex] & & 3y... ...c\vert c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right]$$ (356)

となる． 第一式と第三行を入れ替えると

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =-2 \\ [.5ex] &... ...c\vert c} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ (357)

となる． 第三式を $-1$ 倍して第一行に加えると

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ... ...c\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ (358)

となる． 第三式を $-3$ 倍して第二行に加えると

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ... ...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ (359)

となる． 第二式と第三式を入れ替えると

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ... ...\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{array}\right]$$ (360)

となる． 第三式を $${-\frac{1}{2}}$$ 倍すると

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & - & 2z & =-3 \\ [.5ex] & & ... ...cc\vert c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (361)

となる． 第三式を $2$ 倍して第一式に足すと

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & + ... ...{ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (362)

となる． 第三式を $-1$ 倍して第二式に足すと

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & & & & & =1 \\ [.5ex] & & y & & ... ...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (363)

となる． よって

$$\left[\begin{array}{ccc\vert c} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1... ...ccc\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$ (364)

を得る． 以上より，解は $(x,y,z)=(1,-1,2)$ と求まる．

例 3.13 (掃き出し法による計算例)   連立一次方程式

$$\left\{ \begin{array}{cccccc} x & + & y & - & z & =1 \\ [.5ex] 2x & + & y & + & 3z & =4 \\ [.5ex] -x & + & 2y& - & 4z & =-2 \end{array}\right.$$ (365)

を考える． 拡大係数行列に基本変形を繰り返し行ない，

$$\left[\begin{array}{ccc\vert c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \... ...\vert c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{array}\right]$$ (366)

を得る． 以上より，解は $(x,y,z)=(1,1/2,1/2)$ と求まる．

問 3.14   教科書（p.22）問題2.1．

Kondo Koichi
Created at 2004/11/26