3.11 3 次元極座標への置換積分

例 3.56 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$$

を求める． 積分変数を

$$x=r\sin\theta\cos\varphi, \quad y=r\sin\theta\sin\varphi, \quad z=r\cos\theta$$

とおく． このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \det \begin{b... ...\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =r^2\sin\theta$$

であるから，体積素は

$$dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$$

と表される． 領域 $D$ を $(r,\theta,\varphi)$ で表すと，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,\,0\leq\theta\leq\pi\,\,,0\leq\varphi\leq2\pi}\,\right\}$$

となる． これらより，

$$\iiint_D(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \iiint_E((r\sin\theta\cos\varphi)^2+ (r\sin\theta\sin\varphi)^2+ (r\cos\theta)^2)r^2\sin\theta\,drd\theta d\varphi$$

$$= \iiint_Er^4\sin\theta\,drd\theta d\varphi= \int_{0}^{2\pi}d\var... ...\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{a}r^4\,dr\right)$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\varphi}\,\right... ...1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^5}{5}}\,\right]_{0}^{a}= \frac{4\pi a^5}{5}$$

を得る．

問 3.57 (多重積分の変数変換)   $I$ を次の累次積分を計算して求めよ．

$$I= \iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz= \int_{-a}^{a}dx \int_{-\sqrt{... ...t{a^2-x^2}}dy \int_{-\sqrt{a^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} dz\,(x^2+y^2+z^2)$$

(a) 領域 $D$	(b) 極座標	(c) 領域 $E$

例 3.58 (多重積分の変数変換)   3 重積分

$$I=\iiint_Dx\,dxdydz, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{ x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\, x\geq0,\,\, y\geq0,\,\, z\geq0}\,\right\}$$

を求める． 3 次元の極座標に置き換えると 領域 $D$ は

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta,\varphi)\vrule height1em width0em dep... ...\,\, 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\,\,, 0\leq\varphi\leq\frac{\pi}{2}}\,\right\}$$

となる． 積分は

$$I =\iiint_E(r\sin\theta\cos\varphi)r^2\sin\theta\, drd\theta d\varp... ...\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta\,d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi$$

$$= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,... ...dth0em depth0.1em\,{\sin\varphi}\,\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{16}a^4$$

と求まる．

平成21年12月2日