3.12 演習問題 〜 多重積分の積分変数の変換

問 3.59 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ．
    (1)   $${\iint_{D}(x-y)^2\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{\vert x+2y\vert\leq1,\,\vert x-y\vert\leq 1}\,\right\}}$$
    (2)   $${\iint_{D}(2x+3y)^2e^{4x-3y}\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{\vert 2x+3y\vert\leq 1,\,\vert 2x-3y\vert\leq 1}\,\right\}}$$
    (3)   $${\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-1\leq y+x\leq 3, -5\leq y-x\leq 4}\,\right\}}$$
    (4)   $${\iint_{D}(x-y)e^{x+y}\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x+y\leq 2, 0\leq x-y\leq 2}\,\right\}}$$

問 3.60 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ．
    (1)   $${\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)}$$
    (2)   $${\iint_{D}x\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq x}\,\right\}}$$
    (3)   $${\iint_{D}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1}\,\right\}}$$
    (4)   $${\iint_{D}(x+y)^2\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq9}\,\right\}}$$
    (5)   $${\iint_{D}x^2\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq x}\,\right\}}$$
    (6)   $${\iint_{D}\frac{dxdy}{(x^2+y^2)^m}, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a^2\leq x^2+y^2\leq 4a^2}\,\right\}}$$    $(a>0)$

問 3.61 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ．
    (1)   $${\iiint_{D}(x^2+y^2+z^2)\,dxdydz, D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)}$$
    (2)   $${\iiint_Dx\,dxdydz, D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{ x^2+y^2+z^2\leq a^2,\,\, x\geq0,\,\, y\geq0,\,\, z\geq0}\,\right\}}$$
    (3)   $${\iiint_{D}(yz+zx)\,dxdydz, D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq4,\,y\geq0,\,z\geq0}\,\right\}}$$

問 3.62 (積分変数の変換)   次の多重積分を置換積分により求めよ．
    (1)   $${\iint_{D}x^4(y-x^2)\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y-x^2\leq 1, -1\leq x\leq 1}\,\right\}}$$
（ヒント： $${x=u}$$, $${y=u^2+v}$$）
    (2)   $${\iint_{D}x^2\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2/a^2+y^2/b^2\leq 1}\,\right\}}$$    ($a>0,b>0$)
（ヒント： $${x=ar\cos\theta}$$, $${y=br\sin\theta}$$）
    (3)   $${\iint_{D}(x+y)^4\,dxdy, D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+2xy+2y^2\le 1}\,\right\}}$$
（ヒント： $${x+y=u}$$, $${y=v}$$）

平成21年12月2日