1.3 複素数

定義 1.6 (複素数)   複素数（complex number）とは， 実数 $x$, $y$ に対して $z=x+iy$ で定まる数である． ただし $i$ は $i^2=-1$ をみたし， 虚数単位（imaginary unit）と呼ぶ． 複素数 $z=x+iy$ の $x$ を実部（real part）といい $x=\mathrm{Re}(z)$ と表す． $y$ を虚部（imaginary part）といい $y=\mathrm{Im}(z)$ と表す． 虚部が $\mathrm{Im}(z)=0$ のとき $z$ は実数（real number）といい， 虚部が 0 でない複素数を虚数（imaginary number）といい， 実部が $\mathrm{Re}(z)=0$ の虚数を 純虚数（pure imaginary number）という．

定義 1.7 (複素平面)   複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と表す． この集合を実部 $\mathrm{Re}(z)$ を横軸に 虚部 $\mathrm{Im}(z)$ を縦軸にとることできる平面を 複素平面（complex plane）と呼ぶ． このとき横軸を実軸（real axis）といい， 縦軸を虚軸（imaginary axis）という．

定義 1.8 (複素共役)   複素数 $z=x+iy$ に対して複素数 $\overline{z}=x-iy$ を $z$ の複素共役（complex conjugate）という．

定義 1.9 (複素数の絶対値と偏角)   複素数 $z=x+iy$ に対して実数 $\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$ を $z$ の絶対値（absolute value） または大きさ（modulus）という． $\arg z=\arctan(y/x)=\tan^{-1}(y/x)$ を $z$ の 偏角（argument）という．

注意 1.10 (複素数の絶対値と偏角)   複素平面上で原点 0 とあるある複素数 $z=x+iy$ との 距離は $z$ の絶対値 $\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ である． また，実軸と 2 点 0, $z$ を通る直線とのなす角は $z$ の偏角 $\arg z=\theta$ である． ただし，$\theta$ は $\tan\theta=y/x$ をみたせばよいので， $\theta$ に $2\pi$ の整数倍を加えたものもまた偏角であるから，

$$\arg z=\theta+2n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}$$ (1)

と任意性がある． 特に，偏角のなかで $-\pi<\arg z\le\pi$ をみたすものを 偏角の主値とよび $\mathrm{Arg}\,z$ と書くことにする．

定義 1.11 (極形式)   複素数 $z=x+iy$ は

$$z=re^{i\theta},\quad r=\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta=\arg z=\tan^{-1}\frac{y}{x}$$ (2)

と表せる．これを複素数の極形式という．

定義 1.12 (オイラーの公式)  

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$ (3)

注意 1.13 (複素数の演算)   複素数 $z=x+iy$, $w=u+iv$ に対して 次の四則演算が成り立つ：

$$z\pm w=(x\pm u)+i(y\pm v),$$ (4)

$$zw=(x+iy)(u+iv)=xu+ixv+iyu+i^2yv=(xu-yv)+i(xv+yu),$$ (5)

$$\frac{w}{z}= \frac{u+iv}{x+iy}= \frac{(u+iv)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}... ...ac{xu-iyu+ixv-i^2yv}{x^2-ixy+ixy-i^2y^2}= \frac{(xu+yv)+i(xv-yu)}{x^{2}+y^{2}}.$$ (6)

定理 1.14 (複素数の性質)   次の性質が成り立つ：

    (1)   $\overline{\overline{z}}=z$     (2)   $\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}$.     (3)   $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$.     (4)   $${\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}= \frac{\overline{w}}{\overline{z}}}$$     (5)   $\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert$
    (6)   $\vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert$     (7)   $${\left\vert\frac{w}{z}\right\vert=\frac{\vert w\vert}{\vert z\vert}}$$     (8)   $\vert z\vert^2=z\overline{z}$     (9)   $\vert z\vert=\sqrt{z\overline{z}}$     (10)   $\vert\overline{z}\vert=z$
    (11)   $${z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\vert z\vert^{2}}}$$     (12)   $${\frac{w}{z}=\frac{w\overline{z}}{\vert z\vert^{2}}}$$     (13)   $${\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}}$$     (14)   $${\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$
    (15)   $z-\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は実数．     (16)   $z+\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は純虚数．     (17)   $\arg(zw)=\arg z+\arg w$
    (18)   $${\arg\left(\frac{w}{z}\right)=\arg w-\arg z}$$     (19)   $\arg\overline{z}=-\arg z$

問 1.15 (複素数の性質)   これらの性質を示せ．

例 1.16 (極形式)   複素数 $z=1-i$ の大きさは $r=\vert z\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ であり， 偏角は $\theta=\arg z=\tan^{-1}(-1/1)=-\pi/4+2n\pi$ である． $z$ の極形式は

$$z=1-i=re^{i\theta}= \sqrt{2}e^{i\left(-\frac{\pi}{4}+2n\pi\right)}= \sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}e^{2n\pi i}= \sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}$$ (7)

となる．

例 1.17 (極形式)   複素数 $z=i$ の大きさは $r=\vert z\vert=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1$ であり， 偏角は $\theta=\arg z=\tan^{-1}\infty=\pi/2+2n\pi$ である． $z$ の極形式は

$$z=i=re^{i\theta}= e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)}= e^{\frac{i\pi}{2}}e^{2n\pi i}= e^{\frac{i\pi}{2}}$$ (8)

となる．

例 1.18 (べき乗の根)   $z^{2}=i$ をみたす複素数 $z$ を求める． 極形式にして式変形すると

$$z^{2}=i=e^{i\pi/2+2n\pi i}\quad\Rightarrow\quad \sqrt{z^{2}}=\left(e^{i\pi/2+2n\pi i}\right)^{\frac{1}{2}}$$ (9)

$$\Rightarrow\quad z=e^{i\pi/4+n\pi i} =e^{i\pi/4}e^{n\pi i}= \left... ...i}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) (\cos n\pi+i\sin n\pi) =\pm\frac{1+i}{\sqrt{2}}$$ (10)

を得る． $z^{2}=i$ の両辺に根号をとると $${\sqrt{i}=\pm\frac{1+i}{\sqrt{2}}}$$ が成り立つ．

例 1.19 (多項式の根)   $z^{2}+2iz+i-1=0$ の根を求める． 実数と同じように解の公式を用いると

$$z=-i+\sqrt{D},\quad D=i^{2}-(i-1)=-1-i+1=-i$$ (11)

となる．$D$ を極形式で表すと

$$D=e^{i\theta+2n\pi i},\quad \theta=\tan^{-1}(-\infty)=-\pi/2$$ (12)

であるから，

$$\sqrt{D}=\left(e^{i\theta+2n\pi i}\right)^{1/2}= e^{i\theta/2+n\p... ...e^{n\pi i}= \pm\left(\cos(-\pi/4)+i\sin(-\pi/4)\right)= \pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}$$ (13)

となり，

$$z=-i\pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}$$ (14)

を得る．

平成20年4月22日