1.4 演習～複素数

問 1.20 (複素数) 次の数のうち複素数，実数，虚数，純虚数はどれか述べよ．

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) $(1-i)^{3}$ (8)

問 1.21 (複素数) 絶対値が $2\sqrt{3}$ で偏角が $75^{\circ}$ の複素数を求めよ．

問 1.22 (複素数) 次の複素数を

と極形式 $z=re^{i\theta}$ の形で表し，複素平面上にプロットせよ．

(1) (2) $\sqrt{3}+i$ (3) $(3+\sqrt{3}i)/2$ (4) (5) $\displaystyle{\frac{3+4i}{3-4i}}$ (6) $\displaystyle{\frac{2-i}{3+5i}}$ (7) $\displaystyle{(1-i)^{-4}}$ (8) $\displaystyle{(1+i)^{5}-(1-i)^{5}}$ (9) $3+i+\overline{(-4+5i)}$ (10) $(-1+i)\overline{(5-2i)}$ (11) $\displaystyle{\frac{3+i}{5+\overline{(-1+i)}}}$

問 1.23 (複素数) $z=(-\sqrt{3}+i)/3$ , $w=(\sqrt{3}+i)/6$ のとき $\vert z-w\vert$ , $\arg(w-z)$ を求めよ．

問 1.24 (複素数) $z=(3+\sqrt{3}i)/2$ のとき $z^{6}$ を求めよ．

問 1.25 (複素数) 複素数

, $w=1-\sqrt{3}i$ のとき次を計算せよ．

(1) (2) (3) (4) (5) $\overline{z}$ (6) $\overline{w}$ (7) $\overline{z+w}$ (8) $\overline{z-w}$ (9) $\overline{z w}$ (10) $z^{-1}$ (11) $w^{-1}$ (12) $\overline{w/z}$ (13) $z\overline{z}$ (14) $w\overline{w}$ (15) $\vert z\vert$ (16) $\vert w\vert$ (17) $\vert zw\vert$ (18) $\displaystyle{\left\vert w/z\right\vert}$ (19) $\vert\overline{z}\vert$ (20) $\vert\overline{w}\vert$ (21) $\vert\overline{zw}\vert$ (22) $\displaystyle{\left\vert\overline{\left(w/z\right)}\right\vert}$ (23) $\vert z-w\vert$ (24) $\arg z$ (25) $\arg w$ (26) $\arg zw$ (27) $\displaystyle{\arg \frac{w}{z}}$ (28) $\arg \overline{z}$ (29) $\arg \overline{w}$ (30) $\arg \overline{zw}$ (31) $\displaystyle{\arg\overline{\left(w/z\right)}}$ (32) $\displaystyle{\frac{z+\overline{z}}{2}}$ (33) $\displaystyle{\frac{w+\overline{w}}{2}}$ (34) $\displaystyle{\frac{z-\overline{z}}{2i}}$ (35) $\displaystyle{\frac{w-\overline{w}}{2i}}$ (36) $z^{2}$ (37) $z^{3}$ (38) $z^{4}$ (39) $w^{2}$ (40) $w^{3}$ (41) $w^{4}$

問 1.26 (多項式の根) 次の多項式の根を複素平面上にプロットせよ．

(1) $z^{2}-2z+4=0$ (2) $z^{2}+1=0$ (3) $(z+1)(z^{2}+1)=0$ (4) $z^{2}+z+1=0$ (5) $z^{3}+1=0$ (6) $z^{2}-2z-1=0$ (7) $z^{2}-2z+3=0$ (8) $z^{3}-z^{2}+z-1=0$