2.27 演習問題 〜 内積，ノルム，外積

問 2.74 (内積，ノルム，外積)   $\mathbb{R}^3$ のベクトルに対して， 次の関係式が成り立つこと証明せよ．
    (1)   $(\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (2)   $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$     (3)   $(\alpha\vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})$     (4)   $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
    (5)   $\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\vec{a}\cdot\vec{a}>0$     (6)   $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$     (7)   $\vec{a}\cdot\vec{a}=\Vert\vec{a}\Vert^2$     (8)   $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
    (9)   $\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq\Vert\vec{a}\Vert\,\Vert\vec{b}\Vert$     (10)   $\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq\Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert$     (11)   $${-1\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}\leq1}$$
    (12)   $\Vert\vec{a}-\vec{b}\Vert^2+\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert^2=2(\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2)$     (13)   $(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\Vert\vec{a}\Vert^2-\Vert\vec{b}\Vert^2$
    (14)   $\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2=\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2\pm 2\vec{a}\cdot\vec{b}$     (15)   $${\left\Vert\frac{\vec{a}}{\Vert\vec{a}\Vert^2}\pm\frac{\vec{b}}{\... ...2=\frac{\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2}{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2}}$$
    (16)   $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$     (17)   $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$     (18)   $\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$     (19)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
    (20)   $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$     (21)   $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
    (22)   $(\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(\alpha\vec{b})$     (23)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$     (24)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$
    (25)   $(\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times\vec{b})$     (26)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$
    (27)   $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$     (28)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0$
    (29)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (30)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$
    (31)   $${\vec{a}\cdot(\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{d}))=(\vec{a}\times... ...}\cdot\vec{c} \\ [-.3ex]\vec{a}\cdot\vec{d} &\vec{b}\cdot\vec{d} \end{vmatrix}}$$
    (32)   $(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{c}\times\vec{d})=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$     (33)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}]=[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]^2$
    (34)   $[\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\times\vec{d},\vec{e}\times\vec{f}]=[\vec{a},\vec... ...d}][\vec{c},\vec{e},\vec{f}]-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{d},\vec{e},\vec{f}]$
    (35)   $${[\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{l},\vec{m},\vec{n}]=\begin{vmatri... ... \vec{c}\cdot\vec{l} & \vec{c}\cdot\vec{m} & \vec{c}\cdot\vec{n} \end{vmatrix}}$$

問 2.75 (内積)   次の 2 つのベクトルのノルムをそれぞれ求めよ．またこれらの内積，方向余弦，成す角を求めよ．
    (1)   $\begin{bmatrix}{-\sqrt{3}}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-2}\end{bmatrix}$
    (5)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$     (6)   $\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$

問 2.76 (方向余弦)   $\mathbb{R}^3$ の $3$ 点 $O(0,0,0)$, $A(1,-2,2)$, $B(3,4,0)$ に対して， 方向余弦 $\cos\angle AOB$ を求めよ． また， $\triangle OAB$ の面積を求めよ．

問 2.77 (直交)   次のベクトルに直交するベクトルを $1$ つ求めよ．
    (1)   $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (5)   $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$

問 2.78 (外積)   次のベクトルの外積を求めよ．
    (1)   $\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$

問 2.79 (外積)   次の外積を計算せよ．
    (1)   $(2\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (12\vec{e}_1-4\vec{e}_2-3\vec{e}_3)$     (2)   $(-2\vec{e}_1+3\vec{e}_3)\times (-\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3)$
    (3)   $(2\vec{e}_1-3\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (\vec{e}_1+\vec{e}_2+4\vec{e}_3)$
ただし， $\mathbb{R}^3$ の基本ベクトルを $\vec{e}_1=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $\vec{e}_2=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $\vec{e}_3=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ とする．

問 2.80 (外積)   ベクトル $\vec{a}=3\vec{e}_1-\vec{e}_2+2\vec{e}_3$, $\vec{b}=2\vec{e}_1-\vec{e}_3$, $\vec{c}=-2\vec{e}_1+\vec{e}_2-\vec{e}_3$ に対して次を求めよ．
    (1)   $\vec{a}\times\vec{a}$     (2)   $\vec{a}\times\vec{b}$     (3)   $\vec{b}\times\vec{a}$     (4)   $\vec{a}\times\vec{c}$     (5)   $\vec{b}\times\vec{c}$     (6)   $\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})$     (7)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
    (8)   $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$     (9)   $\vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c}$     (10)   $\vec{b}\times\vec{c}\times\vec{a}$     (11)   $\vec{a}\times\vec{c}\times\vec{a}$

問 2.81 (右手系)   ベクトル $\vec{c}$ はベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ に垂直なベクトルであり， かつ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ はこの順序で右手系をなすとする． $\vec{c}$ を求めよ．
    (1)   $\vec{a}=4\vec{e}_1+3\vec{e}_2-\vec{e}_3$, $\vec{b}=2\vec{e}_1-6\vec{e}_2-3\vec{e}_3$     (2)   $\vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2-3\vec{e}_3$, $\vec{b}=-3\vec{e}_1+\vec{e}_2+2\vec{e}_3$
    (3)   $\vec{a}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3$, $\vec{b}=3\vec{e}_1+\vec{e}_2-2\vec{e}_3$

問 2.82 (右手系)   ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ は この順で右手系であり，お互いに直交するとする． $\vec{c}$ を求めよ．
    (1)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$     (2)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (3)   $\vec{a}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $\vec{b}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$

問 2.83 (平行四辺形の面積)   次の $\mathbb{R}^2$ の 4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ．
    (1)  $(0,0)$, $(1,3)$, $(3,4)$, $(2,1)$     (2)  $(0,0)$, $(-3,1)$, $(-1,3)$, $(2,2)$
    (3)  $(-2,0)$, $(0,2)$, $(3,0)$, $(1,-2)$

問 2.84 (平行四辺形の面積)   次の $\mathbb{R}^3$ の 4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ．
    (1)  $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(1,2,0)$     (2)  $(4,-2,6)$, $(6,-1,7)$, $(5,0,5)$, $(3,3,0)$
    (3)  $(1,2,3)$, $(2,-1,1)$, $(1,2,-4)$, $(1,-3,-9)$

問 2.85 (平行六面体の体積)   次の $\mathbb{R}^3$ の 8 点からなる平行六面体の体積を求めよ．
    (1)  $(0,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(1,2,0)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$, $(2,1,1)$, $(2,2,1)$
    (2)  $(1,2,3)$, $(2,-1,1)$, $(1,2,-4)$, $(1,-3,-9)$, $(0,3,2)$, $(1,0,0)$, $(0,3,-5)$, $(0,-2,-10)$

平成20年4月22日