2.17 点の直線への正射影

定義 2.39 (点の直線への正射影)   点 $A$ から直線 $l$ に垂線を下ろした足 $C$ を 正射影という． 点 $A$ から点 $C$ への変換を射影変換という．

例 2.40 (正射影の具体例)   点 $A(1,0,2)$, $B(0,2,3)$, $C(1,2,-1)\in\mathbb{R}^{3}$ を考える． 点 $C$ から直線 $AB$ へ垂線を下ろした正射影を $D$ とする．

$\vec{a}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AD}$ とおく． このとき

$$\vec{a}=\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}1-1 \\ 2-0 \\ -1-2 \e... ...ix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}=\frac{\vec{b}}{\Vert\vec{b}\Vert}$$ (78)

より

$$\vec{c} = (\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b... ... \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$ (79)

である．よって

$$\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}= \ov... ...+2 \\ 12+1 \end{bmatrix}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}5 \\ 2 \\ 13 \end{bmatrix}$$ (80)

となるので，

$$D\left( \frac{5}{6}, \frac{1}{3}, \frac{13}{6} \right)$$

を得る．

平成20年4月22日