3.14 基本変形の行列表現

定理 3.51 (行列の積による行列の行の基本変形)   行列 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ が与えられたとき， 次に定義される行列 $P^{(\nu)}\ (\nu=1,2,3)$ を左から掛けて， 積 $P^{(\nu)}A$ を考える． このとき積 $P^{(\nu)}A$ は行列の行の第 $\nu$ 基本変形を $A$ にほどこした行列と等しい．

(1)

第 $k$ 行を $\alpha$ 倍する．

$$P^{(1)}_{k}(\alpha) = \underset{k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c\vert ccc} \!1\! & ... ...[-.5ex] & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & \!1\! \end{array}\right]} k$$ (498)

(2)

第 $k$ 行と第 $l$ 行を入れ替える．

$$P^{(2)}_{k,l} = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & & & & & & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}$$ (499)

(3)

第 $l$ 行を $\alpha$ 倍して第 $k$ 行に加える．

$$P^{(3)}_{k,l}(\alpha) = \underset{k\qquad\qquad\,\,\,l}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(k<l)$$ (500)

$$P^{(3)}_{k,l}(\alpha) = \underset{l\qquad\qquad\,\,\,k}{ \left[\begin{array}{ccc\vert c... ...& & \!\ddots\! & \\ [-.5ex] & & & & & & & & & & 1 \end{array}\right]}\quad(l<k)$$ (501)

問 3.52   これを示せ．

例 3.53 (行列の行の基本変形の具体例)   行列

$$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$ (502)

を考える． このとき $A$ にいろいろな基本変形を行なうと次のようになる．

$$P^{(1)}_{1}(\alpha)A = \begin{bmatrix}\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...n{bmatrix}\alpha & 2\alpha & 3\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 1 \alpha$$ (503)

$$P^{(1)}_{2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4\alpha & 5\alpha & 6\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 2 \alpha$$ (504)

$$P^{(1)}_{3}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{bm... ...{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7\alpha & 8\alpha & 9\alpha \end{bmatrix}\,. 3 \alpha$$ (505)

$$P^{(2)}_{1,2}A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,. 1 2$$ (506)

$$P^{(2)}_{1,3}A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\,. 1 3$$ (507)

$$P^{(2)}_{2,3}A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix... ...d{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\,. 2 3$$ (508)

$$P^{(3)}_{1,2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...ix}1+4\alpha & 2+5\alpha & 3+6\alpha \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$$ (509)

$$2 \alpha 1$$

$$P^{(3)}_{3,2}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 1 \end{bm... ...ix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7+4\alpha & 8+5\alpha & 9+6\alpha \end{bmatrix}\,.$$ (510)

$$2 \alpha 3$$

$$P^{(3)}_{2,1}(\alpha)A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ \alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bm... ...rix}1 & 2 & 3 \\ 4+\alpha & 5+2\alpha & 6+3\alpha \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\,.$$ (511)

$$1 \alpha 2$$

例 3.54 (簡約化の行列表現)   行列 $A$ を簡約化し $B$ とする． このとき

$$A\overset{\text{簡約化}}{\rightarrow} B=PA$$ (512)

を満たす行列 $P$ を求める． 簡約化を次のように行う：

$$A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (513)    （第一行目を第二行目に加える．）

$$\overset{P_{1}}{\longrightarrow} A_{1}=P_{1}A= \begin{bmatrix}1 &... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (514)

$$-2$$

$$\overset{P_{2}}{\longrightarrow} A_{2}=P_{2}A_{1}= \begin{bmatrix... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ (515)    （第二行目と第三行目を入れ替える．）

$$\overset{P_{3}}{\longrightarrow} A_{3}=P_{3}A_{2}= \begin{bmatrix... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ (516)

$$-1$$

$$\overset{P_{4}}{\longrightarrow} A_{4}=P_{4}A_{3}= \begin{bmatrix... ...\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$$ (517)

$$1/2$$

$$\overset{P_{5}}{\longrightarrow} A_{5}=P_{5}A_{4}= \begin{bmatrix... ...atrix}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=E=B\,.$$ (518)

簡約化された行列 $B$ はここでは単位行列 $E$ となる． この結果を書き直すと

$$B =E=A_{5}=P_{5}A_{4}= P_{5}P_{4}A_{3}= P_{5}P_{4}P_{3}A_{2}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}A_{1}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}A$$ (519)

$$=(P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1})A=PA$$ (520)

と書ける． ここで

$$P=P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}$$ (521)

とおいた． よって $B=PA$ を満たす $P$ が得られる． 行列 $P$ を具体的に求める． $P$ は $P_{1}$ から $P_{5}$ の積で

$$P =P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0... ... \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (522)

と表されるので， これを計算すれば良い． しかしながらこれは面倒である． 積の順番を

$$P = P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}= P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= P_{5}(P_{4}(P_{3}(P_{2}(P_{1}E))))$$ (523)

として計算する． これはすなわち， 単位行列 $E$ に対して $A$ に行った基本変形と同じ操作を同じ順番で行うことを意味する． よって

$$E = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (524)    （第一行目を第二行目に加える．）

$$\overset{P_{1}}{\longrightarrow} P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (525)

$$-2$$

$$\overset{P_{2}}{\longrightarrow} P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ (526)    （第二行目と第三行目を入れ替える．）

$$\overset{P_{3}}{\longrightarrow} P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$ (527)

$$-1$$

$$\overset{P_{4}}{\longrightarrow} P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$$ (528)

$$1/2$$

$$\overset{P_{5}}{\longrightarrow} P_{5}P_{4}P_{3}P_{2}P_{1}E= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \end{bmatrix}=P\,$$ (529)

を得る． 以上より $B=E=PA$ を満たす

$$P= \begin{bmatrix}0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & -1 \end{bmatrix}$$ (530)

を求めた．

注意 3.55 (変換の行列表現)   行列 $A$ から行列 $B$ への変換を $f$ とする． すなわち

$$B=f(A)$$ (531)

とする．関数 $f$ は入力が行列で出力も行列である． いま簡約化を表す関数 $f$ を考える． このとき

$$B=f(A)=PA$$ (532)

と表される． 関数 $f$ は入力行列 $A$ に対して 左から $P$ を掛ける操作を意味する． 簡約化という操作は行列 $P$ と対応する． 行列の変換においては 入力，出力，操作ともに全て行列で表される．

平成20年2月2日