3.13 演習問題 〜 行列の簡約化，階数

問 3.49 (階数)   次の行列の階数を求めよ． ただし，$a$ は実数とする．
    (1)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-1 \\ [-0.5ex] -4\! & \!2 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!4\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!8\! & \!6 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 5\! & \!-1 \\ [-0.5ex] -2\! & \!3 \end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 3\! & \!-7 \\ [-0.5ex] -6\! & \!1 \\ [-0.5ex] 5\! & \!-8 \end{bmatrix}$     (5)   $\begin{bmatrix} -1\! & \!3\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 4\! & -5\! & \!-3 \end{bmatrix}$
    (6)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 0\! & \!4\! & \!6 \\ [-0.5ex] 0\! & 6\! & \!9 \end{bmatrix}$     (7)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 3\! & 2\! & \!1 \end{bmatrix}$     (8)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 8\! & \!1\! & \!9 \\ [-0.5ex] 4\! & 2\! & \!6 \end{bmatrix}$     (9)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!3\! & \!3 \\ [-0.5ex] -1\! & 1\! & \!4 \end{bmatrix}$     (10)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 4\! & 3\! & \!1 \end{bmatrix}$
    (11)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 4\! & \!-2\! & \!2 \\ [-0.5ex] -6\! & 3\! & \!-3 \end{bmatrix}$     (12)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!5\! & \!5 \\ [-0.5ex] 5\! & 8\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!-2\! & \!2 \end{bmatrix}$     (13)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] -2\! & -1\! & \!3 \\ [-0.5ex] -1\! & \!4\! & \!-2 \end{bmatrix}$     (14)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!1\! & \!1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!3\! & \!2 \\ [-0.5ex] 2\! & \!3\! & \!5\! & \!1 \end{bmatrix}$
    (15)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!4\! & \!5 \\ [-0.5ex] 2\! & \!4\! & \!5\! & \!7 \end{bmatrix}$     (16)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!5\! & \!9 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!2\! & \!5 \\ [-0.5ex] 3\! & \!2\! & \!3\! & \!11 \end{bmatrix}$     (17)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!2\! & \!4\! & \!0 \\ [-0.5ex] 4\! & \!5\! & \!11\! & \!1 \\ [-0.5ex] -7\! & \!-9\! & \!-20\! & \!2 \end{bmatrix}$     (18)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0\! & \!1\! & \... ... 0\! & \!-1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0\! & -1\! & \!0 \end{bmatrix}$
    (19)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!-2\! & \!1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & ... ...! & \!2\! & \!6 \\ [-0.5ex] 3\! & \!2\! & \!-4\! & \!-3\! & \!-9 \end{bmatrix}$     (20)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!-1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] -3\! & \!-1\! &... ... & \!-1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 11\! & \!5\! & \!-5\! & \!a\! & \!a+2 \end{bmatrix}$     (21)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!2\! & \!-3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 0\! & \!2\! & \... ...4\! & \!-5\! & \!8 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \!5\! & \!-7\! & \!9 \end{bmatrix}$
    (22)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3\! & \!1\! & \!-2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!4\! & ... ...! & \!-7\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 3\! & \!8\! & \!1\! & \!-7\! & \!-8 \end{bmatrix}$     (23)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3\! & \!-2\! & \!5\! & \!4 \\ [-0.5ex] 1\! & \!4\! & \... ...2\! & \!4\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!7\! & \!-3\! & \!6\! & \!13 \end{bmatrix}$     (24)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!-3\! & \!-2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! &... ... & \!-2\! & -11 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!-9\! & \!-10\! & \!-3 \end{bmatrix}$
    (25)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!3\! & \!1\! & \!-3\! & \!2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \... ...\!-2\! & \!1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & 2\! & \!2\! & \!-3\! & \!2 \end{bmatrix}$     (26)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!4\! & \!-2\! & \!4\! & \!-5\! & \!4\! & \!1 \\ [-0.5ex... ...5 \\ [-0.5ex] 3\! & 10\! & \!-1\! & \!-9\! & \!6\! & \!8\! & \!-2 \end{bmatrix}$

問 3.50 (連立 1 次方程式)   次の連立 1 次方程式の解を求めよ． また，係数行列と拡大係数行列の階数を求めよ．
    (1)  $3x+2y=0$     (2)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+3y=0 \\ 4x-y=0 \end{array}\right.$     (3)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+3y=0 \\ 6x+9y=0 \end{array}\right.$     (4)   $\left\{\begin{array}{r} y+2z=0 \\ x+2y+z=0 \end{array}\right.$
    (5)   $\left\{\begin{array}{r} 4x-3y=0 \\ 20x-15y=0 \end{array}\right.$     (6)   $\left\{\begin{array}{r} x+y+z=0 \\ 2x-4y-z=0 \end{array}\right.$     (7)   $\left\{\begin{array}{r} x-2y+3z=4 \\ x+y+2z=5 \end{array}\right.$
    (8)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y+3z-4w=0 \\ 2x+3y-z+2w=0 \end{array}\right.$     (9)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+3x_2-x_3=1 \\ 2x_1+6x_2-2x_3=4 \end{array}\right.$     (10)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2-x_3=3 \\ 2x_1+3x_2+x_3=1 \end{array}\right.$
    (11)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y+z+w=0 \\ -2x+y+3z-7w=0 \\ x-y-z-w=0 \end{array}\right.$     (12)   $\left\{\begin{array}{r} x+y+z+w=0 \\ x+3y+2z+4w=0 \\ 2x+z-w=0 \end{array}\right.$     (13)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y+z=0 \\ 2x+3y+3z=0 \\ -x+y+4z=0 \end{array}\right.$
    (14)   $\left\{\begin{array}{r} x+3y+z=2 \\ 2x+7y-z=-3 \\ -x+2y+3z=1 \end{array}\right.$     (15)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y-4z=1 \\ x-4y+3z+w=1 \\ 3x-5z+w=2 \end{array}\right.$     (16)   $\left\{\begin{array}{r} 3x-2y+z=7 \\ x+2y-2z=2 \\ 4x+3y-2z=7 \end{array}\right.$
    (17)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y=1 \\ 2x+3y=1 \\ 3x+y=1 \end{array}\right.$     (18)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y-z=0 \\ 2x-y+3z=0 \\ 4x+3y+z=0 \end{array}\right.$     (19)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z=0 \\ 4x-2y+2z=0 \\ -6x+3y-3z=0 \end{array}\right.$
    (20)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y-z=2 \\ 2x-y+3z=9 \\ 4x+3y+z=13 \end{array}\right.$     (21)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z=0 \\ 4x-2y+z=0 \\ -2x+y+3z=0 \end{array}\right.$     (22)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z=-1 \\ 4x-2y+2z=7 \\ -6x+3y-3z=3 \end{array}\right.$
    (23)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+3x_2+2x_3=0 \\ 2x_1+8x_2+5x_3+x_4=0 \\ -x_1-x_2-x_3+x_4=0 \end{array}\right.$     (24)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+2x_2-x_3=0 \\ x_1+x_2+3x_4=0 \\ 3x_1+5x_2-2x_3+3x_4=0 \\ x_1+3x_2-2x_3-3x_4=0 \end{array}\right.$
    (25)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1-4x_2-2x_3-2x_4+4x_5=0 \\ -x_1+2x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1-2x_2-2x_3-4x_4+3x_5=0 \\ 3x_1-6x_2-x_3+3x_4+7x_5=0 \end{array}\right.$     (26)   $\left\{\begin{array}{r} x+y+z+w=0 \\ 3x+3y+3z+2w=0 \\ x+2y+3z+4w=0 \\ 3x+2y+z=0 \\ 2x+3y+4z+4w=0 \end{array}\right.$
    (27)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+y+z=0 \\ 4x+2y+3z=0 \\ 2x+2z=0 \end{array}\right.$     (28)   $\left\{\begin{array}{r} -x+2y-3z=0 \\ 2x-4y+z=0 \\ 3x-3y+6z=0 \end{array}\right.$     (29)   $\left\{\begin{array}{r} -y+2z=0 \\ -2x-y-2z=0 \\ 3x+2y+4z=0 \end{array}\right.$
    (30)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y-z=0 \\ 2x+4y-6z=0 \\ 3x+5y-7z=0 \end{array}\right.$     (31)   $\left\{\begin{array}{r} -2x+3y-z=0 \\ 6x-9y+3z=0 \\ -4x+6y-2z=0 \end{array}\right.$     (32)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+y+z=0 \\ 4x+2y+3z=0 \\ 2x+y+2z=0 \end{array}\right.$
    (33)   $\left\{\begin{array}{r} 3x-y-2z=0 \\ -2x+3y-z=0 \\ -x-2y+3z=0 \end{array}\right.$     (34)   $\left\{\begin{array}{r} -x-2y+z=0 \\ 3x-y-2z=0 \\ x-5y=0 \end{array}\right.$     (35)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2+x_3+2x_4=0 \\ x_1+2x_2-x_3+3x_4=0 \\ 3x_1+4x_2+x_3+7x_4=0 \end{array}\right.$
    (36)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1+x_2-2x_3=0 \\ x_1+x_2-3x_3+x_4=0 \\ 3x_1+x_2-6x_3+x_4=0 \end{array}\right.$     (37)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2+3x_3=0 \\ x_1+2x_2+4x_3=0 \\ x_1-x_2+x_3=0 \\ x_1+4x_2+6x_3=0 \end{array}\right.$     (38)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1+3x_2-x_3=0 \\ x_1-x_2+2x_3=0 \\ x_1+3x_2+2x_3=0 \\ 2x_1+4x_2-x_3=0 \end{array}\right.$
    (39)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+2x_2-x_3+x_4=0 \\ 2x_1+4x_2-x_3+4x_4=0 \\ -2x_1-4x_2+3x_3=0 \\ 3x_1+6x_2-x_3+7x_4=0 \end{array}\right.$     (40)   $\left\{\begin{array}{r} x_1-2x_2-x_3+x_4=0 \\ -2x_1+4x_2+3x_3=0 \\ 3x_1-6x_2+2x_3+13x_4=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3+9x_4=0 \end{array}\right.$
    (41)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+2x_2-x_3=0 \\ 2x_1+2x_3+x_4=0 \\ x_1-2x_2+3x_3+x_4=0 \\ 3x_1-2x_2+5x_3+2x_4=0 \end{array}\right.$     (42)   $\left\{\begin{array}{r} x_1-2x_2+2x_3+7x_4+x_5=0 \\ -3x_1+6x_2-2x_3-13x_4-x_5=0 \\ 5x_1-10x_2-x_3+13x_4+x_5=0 \\ 2x_1-4x_2+x_3+8x_4+x_5=0 \end{array}\right.$
    (43)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z=2 \\ 4x-2y+z=3 \\ -2x+y+3z=2 \end{array}\right.$     (44)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1-4x_2-2x_3-2x_4+4x_5=-6 \\ -x_1+2x_2+x_3+x_4=1 \\ x_1-2x_2-2x_3-4x_4+3x_5=-7 \\ 3x_1-6x_2-x_3+3x_4+7x_5=-4 \end{array}\right.$
    (45)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z=2 \\ 4x-2y+z=3 \\ -2x+y+3z=1 \end{array}\right.$     (46)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1-4x_2-2x_3-2x_4+4x_5=-6 \\ -x_1+2x_2+x_3+x_4=-1 \\ x_1-2x_2-2x_3-4x_4+3x_5=-7 \\ 3x_1-6x_2-x_3+3x_4+7x_5=-4 \end{array}\right.$
    (47)   $\left\{\begin{array}{r} -2x+3y-z=-1 \\ 6x-9y+3z=3 \\ -4x+6y-2z=-2 \end{array}\right.$     (48)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+y+z=2 \\ 4x+2y+3z=5 \\ 2x+y+2z=3 \end{array}\right.$     (49)   $\left\{\begin{array}{r} 3x-y-2z=-5 \\ -2x+3y-z=1 \\ -x-2y+3z=3 \end{array}\right.$
    (50)   $\left\{\begin{array}{r} -x-2y+z=-2 \\ 3x-y-2z=0 \\ x-5y=-4 \end{array}\right.$     (51)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2+x_3+2x_4=-1 \\ x_1+2x_2-x_3+3x_4=2 \\ 3x_1+4x_2+x_3+7x_4=1 \end{array}\right.$     (52)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+x_2+3x_3=5 \\ x_1+2x_2+4x_3=7 \\ x_1-x_2+x_3=1 \\ x_1+4x_2+6x_3=11 \end{array}\right.$
    (53)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1+x_2-2x_3=3 \\ x_1+x_2-3x_3+x_4=2 \\ 3x_1+x_2-6x_3+x_4=4 \end{array}\right.$     (54)   $\left\{\begin{array}{r} 2x_1+3x_2-x_3=-3 \\ x_1-x_2+2x_3=6 \\ x_1+3x_2+2x_3=2 \\ 2x_1+4x_2-x_3=-1 \end{array}\right.$
    (55)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+2x_2-x_3+x_4=-3 \\ 2x_1+4x_2-x_3+4x_4=-1 \\ -2x_1-4x_2+3x_3=11 \\ 3x_1+6x_2-x_3+7x_4=1 \end{array}\right.$     (56)   $\left\{\begin{array}{r} x_1-2x_2-x_3+x_4=-3 \\ -2x_1+4x_2+3x_3=8 \\ 3x_1-6x_2+2x_3+13x_4=-10 \\ 2x_1-4x_2+x_3+9x_4=-7 \end{array}\right.$
    (57)   $\left\{\begin{array}{r} x_1+2x_2-x_3=-1 \\ 2x_1+2x_3+x_4=2 \\ x_1-2x_2+3x_3+x_4=3 \\ 3x_1-2x_2+5x_3+2x_4=5 \end{array}\right.$     (58)   $\left\{\begin{array}{r} x_1-2x_2+2x_3+7x_4+x_5=-2 \\ -3x_1+6x_2-2x_3-13x_4-x_... ... 5x_1-10x_2-x_3+13x_4+x_5=15 \\ 2x_1-4x_2+x_3+8x_4+x_5=3 \end{array}\right.$

平成20年2月2日