3.12 ちょっとまとめ

？ 3.45 (任意定数を含む解って何？)   方程式 $x_{1}+x_{2}=0$ の解を考えよう． この方程式の解はどのように表現したらよいだろうか． まずは具体的にいくつか解を書き下してみよう． 解は方程式に代入して成り立てばよいから，

$$x_{1} =1\,,\quad x_{2}=-1\,,$$ (475)

$$x_{1} =2\,,\quad x_{2}=-2\,,$$ (476)

$$x_{1} =3\,,\quad x_{2}=-3\,,$$ (477)

$$x_{1} =4\,,\quad x_{2}=-4\,,$$ (478)

$$\quad\,\vdots$$ (479)

は解となるのがすぐ分かる． この解から予想できることとして $x_{1}$ は任意の値で良さそうである． これを $c$ としよう．$x_{1}=c$ とおけば $x_{2}=-c$ である． よって解として

$$\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c \\ -c \end{bmatrix}\, \qquad (\forall c\in\mathbb{R})$$ (480)

を得る．確にこれが解となっているかは， 方程式 $x_{1}+x_{2}=0$ に代入すればよい． この解は任意定数を含む解である． 変数の個数は $2$ 個であり， 方程式の本数が $1$ 本であるので， 任意定数の個数は $2-1=1$ 個となる．

次に方程式

$$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ [.5ex] x_{3}+x_{4}=0 \end{array}\right.$$ (481)

を考えよう．第一式は先ほどの方程式と同じである． であるから第一式を満たす解として $(x_{1},x_{2})=(c,-c)$ を得る． 第二式も第一式と同じ形をしており， 変数名が違うだけである． よって解は $(x_{3},x_{4})=(c,-c)$ である． しかし第一式と第二式とは独立しているので， 任意定数も独立してとり得る． これを $x_{1}=c_{1}$, $x_{3}=c_{2}$ としよう． よって解として

$$\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}= \b... ...2} \\ -c_{2} \end{bmatrix}\, \qquad (\forall c_{1}, \forall c_{2}\in\mathbb{R})$$ (482)

を得る． 変数が $4$ 個，方程式が $2$ 本， 任意定数が $4-2=2$ 個である．

以上より， 任意定数の個数は変数の個数から方程式の（本質的な）本数を引い たものである．

？ 3.46 (簡約化って何？)   方程式

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & +x_{3} & +x_{4} & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \end{array}\right.$$ (483)

を考えよう．第一式から第二式を引くと，

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & & & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \end{array}\right.$$ (484)

を得る． 第一式から変数が $2$ 個減っている． このとき係数行列は

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad\to\qquad \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ (485)

のように変形される． 右の行列は簡約な行列となっている．

次に方程式

$$\left\{\begin{array}{ccc} 3x_{1} & +\,4x_{2} & =2 \\ [.5ex] x_{1} & +\,2x_{2} & =3 \end{array}\right.$$ (486)

を考えよう． 方程式と係数行列の変化をみよう：

$$\left\{\begin{array}{ccc} 3x_{1} & +\,4x_{2} & =2 \\ [.5ex] x_{1}... ...\qquad \left[\begin{array}{cc\vert c} 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$ (487)

$$\to \left\{\begin{array}{ccc} 0 & -\,2x_{2} & =-7 \\ [.5ex] x_{1}... ... \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 0 & -2 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$ (488)

$$\to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & +\,2x_{2} & =3 \\ [.5ex] & ... ... \to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -7 \end{array}\right]$$ (489)

$$\to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & 0 & =-4 \\ [.5ex] & -2x_{2}... ...\to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & -7 \end{array}\right]$$ (490)

$$\to \left\{\begin{array}{ccc} x_{1} & & =-4 \\ [.5ex] & x_{2} & =... ...\to \left[\begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 7/2 \end{array}\right]$$ (491)

このように基本変形により変数が減って行く． この手順によりうまく変数を減らすことができる． ある行列が与えられたとき， その行列に対して簡約な行列は一意に定まる． つまり，与えられた方程式に対して常に うまい変数の減らし方が存在することを意味する．

？ 3.47 (ランクっ何？)   方程式

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +\,x_{2} & +\,x_{3} & +\,x_{4... ... & =0 \\ [.5ex] 2x_{1} &+\,2x_{2} & +\,3x_{3}& +\,3x_{4}& =0 \end{array}\right.$$ (492)

を考えよう． 変数が $4$ 個，方程式が $3$ 本であるから 任意定数は $4-3=1$ 個であろう． しかし本当にそうであろうか． まずは方程式に基本変形をほどこしてみよう：

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & & & =0 \\ [.5ex] & &... ...+x_{4} & =0 \\ [.5ex] 2x_{1} &+2x_{2} & +3x_{3}& +3x_{4}& =0 \end{array}\right.$$ (493)

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & & & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \\ [.5ex] 0 & +0 & +0 & +0 & =0 \end{array}\right.$$ (494)

$$\left\{\begin{array}{ccccc} x_{1} & +x_{2} & & & =0 \\ [.5ex] & & x_{3} & +x_{4} & =0 \end{array}\right.$$ (495)

このように方程式は本質的に $2$ 本である． よって変数が $2$ 個，方程式が $2$ 本， 任意定数が $4-2=2$ 個となる． これを係数行列でみてみよう：

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 3 \e... ...to \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (496)

最後の簡約化された行列に着目する． 行列のランクは $2$ である． つまり，係数行列のランクは 方程式の本質的な本数を示している．

まとめ 3.48 (連立 1 次方程式についてのまとめ)   連立 1 次方程式

$$A\,\vec{x}=\vec{b}\,,\qquad A=[a_{ij}]_{m\times n}\,,\quad \vec{b}=[b_{i}]_{m\times1}\,,\quad \vec{x}=[x_{j}]_{n\times1}$$ (497)

について次の関係が成り立つ：

(I) 非同次形（ $\vec{b}\neq\vec{0}$）のとき

$\mathrm{rank}\,(A)\neq\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])$	$\Leftrightarrow$	解なし
$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])=n$	$\Leftrightarrow$	一意な解をもつ
$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{b}])<n$	$\Leftrightarrow$	任意定数を含む解をもつ
		任意定数の個数$=n-\mathrm{rank}\,(A)$

(II) 同次形（ $\vec{b}=\vec{0}$）のとき

常に	$\mathrm{rank}\,(A)=\mathrm{rank}\,([A\vert\vec{0}])$	が成り立つので	解を常にもつ
	$\mathrm{rank}\,(A)=n$	$\Leftrightarrow$	自明な解（ $\vec{x}=\vec{0}$）をもつ
$m<n$ $\Rightarrow$	$\mathrm{rank}\,(A)<n$	$\Leftrightarrow$	任意定数を含む解をもつ
			任意定数の個数$=n-\mathrm{rank}\,(A)$

平成20年2月2日