1.39 演習問題 〜 平面

問 1.181 (平面)   次の $\mathbb{R}^3$ の平面の法線ベクトルと $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸との交点を求めよ．
    (1)   $2x-y+3z+4=0$     (2)  $x+3y-2z=3$     (3)  $2y-z+3=0$     (4)  $x-z=2$
    (5)   $-2x+3z-1=0$     (6)  $x=1$     (7)  $y=-3$     (8)  $z+5=0$

問 1.182 (平面)   次の $\mathbb{R}^3$ の 3 点を通る平面の方程式を求めよ．
    (1)  点 $(1,2,-1)$, $(0,2,1)$, $(0,2,1)$     (2)  点 $(1,2,-1)$, $(0,1,2)$, $(3,-1,0)$
    (3)  点 $(0,1,2)$, $(-1,2,-1)$, $(2,0,-3)$     (4)  点 $(4,0,2)$, $(2,-1,0)$, $(2,1,1)$
    (5)  点 $(0,1,2)$, $(3,-1,0)$, $(2,4,0)$

問 1.183 (直線と平面の交点)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線と平面の交点を求めよ．
    (1)   $${\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{y+2}{-2}}$$,     $3x+2y+z=1$
    (2)   $${\frac{x+2}{-2}=y-3=\frac{y-1}{-3}}$$,     $2x-y+3z+2=0$

問 1.184 (直線と平面の交点)   平面 $\alpha$ は平面 $\pi$ と平行で点 $A$ を通るとする． 平面 $\alpha$ の方程式を求めよ． また，平面 $\alpha$ と直線 $L$ との交点を求めよ．
    (1)  $\pi$ : $x+3y+2z+1=0$,      $A(1,-1,-2)$,     $L$ : $${\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}}$$
    (2)  $\pi$ : $2x-y+z-1=0$,     $A(1,0,4)$,     $L$ : $${\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}}$$

問 1.185 (点の平面への正射影)   次の $\mathbb{R}^3$ の点から平面への正射影を求めよ．
    (1)   $(1,-1,2)$,    $2x-y+3z=1$     (2)   $(2,0,-1)$,     $x+y-2z+3=0$

問 1.186 (点と平面の距離)   次の $\mathbb{R}^3$ の点と平面の距離を求めよ．
    (1)   $(0,3,1)$,     $-3x-y+z+2=0$     (2)   $(1,1,0)$,    $y+z=1$

問 1.187 (平面の交線)   次の $\mathbb{R}^3$ の平面の交線の方向ベクトルを求めよ．
    (1)  $2x+3y=1$, $3y+4z=2$     (2)  $2x+3y-z=1$, $x-2y+z=-1$
    (3)   $2x+3y+z+1=0$, $x-y+2z-1=0$     (4)   $x-y+2z-2=0$, $3x+2y-z+5=0$

問 1.188 (平面と直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の平面と直交し点 $(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ． また，その交点を求めよ．
    (1)  $2x+3y+1=0$     (2)  $-x+2y-2=0$     (3)  $3x-y+2=0$     (4)   $-3x-2y+3=0$

問 1.189 (直線の平面への正射影)   $\mathbb{R}^3$ の直線 $${\frac{x-3}{2}= \frac{y+1}{-3}= \frac{z-2}{4}}$$ を平面 $3x+2y-y=5$ へ正射影した直線を求めよ．

問 1.190 (総合)   3次元空間内の点 $A(1,2,-1)$, $B(0,1,1)$, $C(3,0,-2)$, $P(1,1,0)$ を考える． 点 $C$ から直線 $AB$ に垂線を下ろしたときの足を $D$ とする． $3$ 点 $A$, $B$, $C$ を通る平面を $H$ とする． 点 $P$ から平面 $H$ への垂線を $L$ とする． 平面 $H$ と 直線 $L$ の交点を $Q$ とする． このとき， $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$ とおく． 次の問(1)-(14)に答えよ．     (1)  ベクトル $\vec{b}$ と $\vec{c}$ のノルムをそれぞれ求めよ．     (2)  内積 $\vec{b}\cdot\vec{c}$ を求めよ．     (3)  角 $\theta=\angle BAC$ を示せ．     (4)  ベクトル $\vec{b}$ を正規化したベクトル $\vec{e}$ を示せ．     (5)  ベクトル $\vec{d}$ をベクトル $\vec{e}$ と $\vec{c}$ を用いて表せ．     (6)  点 $D$ の座標を求めよ．     (7)  点 $C$ と直線 $AB$ との距離を求めよ．     (8)  外積 $\vec{b}\times\vec{c}$ を求めよ．     (9)  平面 $H$ の法線ベクトル $\vec{n}$ を求めよ．     (10)  平面 $H$ 上の点 $(x,y,z)$ が満たす方程式を示せ．     (11)  直線 $L$上の点の位置ベクトル $\vec{x}$ をパラメータ $t$ を用いて表せ．     (12)  直線 $L$ 上の点 $(x,y,z)$ が満たす方程式を示せ．     (13)  点 $Q$ の座標を求めよ．     (14)  点 $P$ と平面 $H$ との距離を求めよ．

問 1.191 (総合)   $xyz$ 空間内に点 $A(2,0,-1)$, $B(1,3,0)$, $C(0,1,-2)$, $P(-5,1,3)$ がある．
次の問(1)-(9)に答えよ．     (1)  方向余弦 $\cos\angle CAB$, $\cos\angle ABC$, $\cos\angle BCA$ を求めよ．     (2)  直線 $AB$ の単位方向ベクトルを求めよ．     (3)  直線 $AB$ の方程式を成分表示で書け．     (4)  点 $C$ の直線 $AB$ への正射影 $D$ の座標を求めよ．     (5)  点 $C$ と直線 $AB$ との距離を求めよ．     (6)  点 $A$, $B$, $C$ を通る平面 $H$ の法線ベクトルを求めよ．     (7)  平面 $H$ の方程式を成分表示で書け．     (8)  点 $P$ の平面 $H$ への正射影 $Q$ の座標を求めよ．     (9)  点 $P$ と平面 $H$ との距離を求めよ．

平成20年2月2日