1.32 連立方程式を解いて平面の方程式を導出

例 1.159 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   点 $A(1,2,3)$, $B(2,0,-1)$, $C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を 通る平面を考える． 平面の方程式は

$$ax+by+cz=1$$ (211)

な形となると仮定する． 点 $A$, $B$, $C$ は平面上にあるので

$$a+2b+3c=1,\qquad 2a-c=1,\qquad -a+b+2c=1$$ (212)

が成り立つ． この $a,b,c$ に関する連立方程式を求める．

例 1.160 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   3 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$, $C(2,1,-1)$ を通る $xyz$ 空間内の平面を考える． 平面の方程式の一般形は

$$ax+by+cz+1=0$$

であるから，これに各点の座標を代入すると 連立方程式

$$a+b-2c+1=0, \quad 3a+c+1=0, \quad 2a+b-c+1=0$$

を得る．この方程式の解は

$$(a,b,c)=\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

である．よって平面の方程式は $x-y-z-2=0$ となる．

注意 1.161 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式と連立方程式)   平面は 3 点から一意に定まる． これは 3 元の連立方程式は 3 本の方程式により解が 一意に定まることと等価である．

注意 1.162 (図形，次元，点，連立方程式)    

点：	0 次元．	$1$ 点で一意に定まる．	つまり $1$ 元 1 連立方程式の解は一意に定まる．
直線：	$1$ 次元．	$2$ 点で一意に定まる．	つまり $2$ 元 2 連立方程式の解は一意に定まる．
平面：	$2$ 次元．	$3$ 点で一意に定まる．	つまり $3$ 元 3 連立方程式の解は一意に定まる．

平成20年2月2日