1.29 平面の方程式

定義 1.149 (平面)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の点 $X$ の位置ベクトルが

$$\vec{x}(t,s)=\vec{q}+t\,\vec{u}+s\,\vec{v}\,,\quad \vec{x},\vec{q},\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t, \forall s\in\mathbb{R}$$ (182)

と表されるとき， 点 $X$ の軌跡を平面（plane）という． $\vec{u}$, $\vec{v}$ を方向ベクトル（tangent vector）という．

定義 1.150 (超平面)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の点 $X$ の位置ベクトルが $n-1$ 個の方向ベクトル $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, $\cdots$, $\vec{u}_n$ を用いて

$$\vec{x}(t_1,t_2,\cdots,t_n)= \vec{x}_0+t_1\,\vec{u}_1+t_2\,\vec{u}_2+\cdots+t_n\,\vec{u}_n$$ (183)

$$\qquad \vec{x},\vec{x}_0,\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n \in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t_1,t_2,\cdots,t_n\in\mathbb{R}$$ (184)

と表されるとき， 点 $X$ の軌跡を超平面（hyper plane）という．

例 1.151 (平面の具体例)  

$$\vec{e}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\,$$ (185)

とおく．このとき平面

$$\vec{x}(t,s)=t\vec{e}_{1}+s\vec{e}_{2}= \begin{bmatrix}t \\ s \end{bmatrix}$$ (186)

を考える． 位置ベクトル $\vec{x}(t,s)$ は点 $(t,s)$ を表す． $t$, $s$ は任意の実数なので 点の軌跡は $\mathbb{R}^2$ 空間全体をなす． よって $\mathbb{R}^2$ は平面である．

例 1.152 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の具体例)   点 $A(1,2,3)$, $B(2,0,-1)$, $C(-1,1,2)\in\mathbb{R}^3$ を 通る平面を考える． 点 $\vec{q}=\overrightarrow{OA}$ を通り 方向ベクトルが $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ の平面と考える．

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmat... ...matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix}\,,$$ (187)

$$\vec{v}=\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (188)

とする． 平面の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}(t,s)= \vec{q}+t\vec{u}+s\vec{v}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\... ... \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}t-2s+1 \\ -2t-s+2 \\ -4t-s+3 \end{bmatrix}$$ (189)

である．

平成20年2月2日