1.26 $\mathbb{R}^3$ における点と直線との距離

定理 1.138 (点と直線の距離)   $\mathbb{R}^{3}$ 空間内の 点 $A(\vec{a})$ と直線 $\vec{x}(t)=\vec{q}+t\vec{p}$ との距離は

$$\frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}$$ (165)

である．

問 1.139 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   これを示せ．

（証明その1） 距離 $\overline{AB}$ は

$$\overline{AB}^2 = \Vert\vec{a}-\vec{q}\Vert^2- \left(\frac{\vec{p}\cdot(\vec{a}-\... ...\vec{a}-\vec{q})- \frac{(\vec{p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))^2}{\vec{p}\cdot\vec{p}}$$ (166)

$$= \frac{(\vec{p}\cdot\vec{p})(\vec{a}-\vec{q})\cdot(\vec{a}-\vec{... ...p}\cdot(\vec{a}-\vec{p}))((\vec{a}-\vec{p})\cdot\vec{p})} {\vec{p}\cdot\vec{p}}$$ (167)

となる． ここで

$$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})= (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})- (\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$$ (168)

を用いると

$$\overline{AB}^2 = \frac{(\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q}))\cdot (\vec{p}\times(\vec... ...ec{p}}= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2} {\Vert\vec{p}\Vert^2}$$ (169)

となり定理を得る．

（証明その2） $3$ 点 $X(\vec{x})$, $Q(\vec{q})$, $A(\vec{a})$ からなる 三角形 $AQX$ を考える． 三角形の面積は外積の定義より

$$S=\frac{1}{2} \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert$$ (170)

と表される．また点 $A$ と直線の距離を $h$ とする． このとき $h$ は三角形 $AQX$ の高さを意味する． よって

$$S=\frac{1}{2}h\Vert\vec{p}\Vert$$ (171)

が成り立つ． 以上より

$$h= \frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}$$ (172)

を得る．

例 1.140 (点と直線の距離)   点 $A(1,0,2)$, $B(0,2,3)$, $C(1,2,-1)\in\mathbb{R}^{3}$ において， 点 $C$ と直線 $AB$ を考える． 三角形 $\triangle ABC$ の面積は

$$S=\frac{1}{2}\Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert$$

である．また，点 $C$ と直線 $AB$ の距離を $h$ とすると

$$S=\frac{1}{2}h\Vert\overrightarrow{AB}\Vert$$

とも表される．よって距離は

$$h=\frac{\Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert}{\Vert\overrightarrow{AB}\Vert}$$

により定まる． よって，

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{bmatrix}-1 \... ...\\ 2 & 2 \end{vmatrix} \vec{e}_3 = \begin{bmatrix}-8 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix},$$

$$\Vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\Vert=\sqrt{77}, \qquad \Vert\overrightarrow{AB}\Vert=\sqrt{6}$$

より，距離は

$$h=\sqrt{\frac{77}{6}}$$

より求まる．

例 1.141 ( $\mathbb{R}^3$ 内の点と直線の距離)   点 $A(0,2,1)$ と直線 $\vec{x}(t)=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ との 距離を考える．

$$\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})= \begin{bmatrix}-1 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}\,,\quad \Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert^2=35$$ (173)

より，距離は

$$\frac{\Vert\vec{p}\times(\vec{a}-\vec{q})\Vert} {\Vert\vec{p}\Vert}= \sqrt{\frac{35}{6}}$$ (174)

である．

平成20年2月2日