4.20 いろいろな行列式

定理 4.108 (ファンデアモントの行列式)   行列式

$$V= \overbrace{ \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2}... ...ts \\ (x_{1})^{n-1} & (x_{2})^{n-1} & \cdots & (x_{n})^{n-1} \end{vmatrix}}^{n}$$ (804)

をファンデアモントの行列式という． $V$ は

$$V= \prod_{i\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})$$ (805)

と与えられる．

問 4.109 (ファンデアモントの行列式)   これを示せ．

（証明） 行列式を

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})= \overbrace{ \begin{vmatrix}1\! & \!1... ...}^{n-1}\! & \!x_{2}{}^{n-1}\! & \!\cdots\! & \!x_{n}{}^{n-1} \end{vmatrix}}^{n}$$ (806)

とおく． 第 $n-1$ 行に $-x_{1}$ をかけて第 $n$ 行に加える． 第 $n-2$ 行に $-x_{1}$ をかけて第 $n-1$ 行に加える． 第 $n-3$ 行に $-x_{1}$ をかけて第 $n-2$ 行に加える． 同様に繰り返して， 第 $1$ 行に $-x_{1}$ をかけて第 $2$ 行に加える． すると

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})= \overbrace{ \begin{vmatrix}1\! & \!1... ...!-\!x_{1})\! & \!\cdots\! & \!x_{n}{}^{n-2}(x_{n}\!-\!x_{1}) \end{vmatrix}}^{n}$$ (807)

を得る． 第 $(1,1)$ 成分で展開すると

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})= \overbrace{ \begin{vmatrix}x_{2}\!-\... ...\!x_{1})\! & \!\cdots\! & \!x_{n}{}^{n-2}(x_{n}\!-\!x_{1}) \end{vmatrix}}^{n-1}$$ (808)

となる． 第 $1$ 列は $x_{2}-x_{1}$ を共通因子としてもつ． 第 $2$ 列は $x_{3}-x_{1}$ を共通因子としてもつ． 同様にして 第 $j$ 列 $(j=1,2,\cdots,n-1)$ は $x_{j}-x_{1}$ を共通因子としてもつ． 共通因子を行列式の外にくくり出すと

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})= (x_{2}\!-\!x_{1}) (x_{3}\!-\!x_{1})\... ...{n-2}\! & \!x_{3}{}^{n-2}\! & \!\cdots\! & \!x_{n}{}^{n-2} \end{vmatrix}}^{n-1}$$ (809)

である． このとき

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \left( \prod_{1<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{1}) \right) V(x_{2},x_{3},\cdots,x_{n})$$ (810)

が成り立つ． 行列式のサイズがひとつ小さくなった． これを繰り返すと

$$V(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$$ (811)

$$= \left( \prod_{1<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{1}) \right) \left( \prod_{2<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{2}) \right) V(x_{3},x_{4},\cdots,x_{n})$$ (812)

$$= \left( \prod_{1<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{1}) \right) \left( \p... ...dots \left( \prod_{n-2<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{n-2}) \right) V(x_{n-1},x_{n})$$ (813)

$$= \left( \prod_{1<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{1}) \right) \left( \p... ...\!-\!x_{n-2}) \right) \left( \prod_{n-1<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{n-1}) \right)$$ (814)

$$= \prod_{1\leq i<j\leq n}\!\!(x_{j}\!-\!x_{i})$$ (815)

を得る．

例 4.110 (ファンデアモントの具体例)  

$$V(x_{1},x_{2})= \begin{vmatrix}1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} \end{vmatrix} =x_{2}-x_{1}\,.$$ (816)

$$V(x_{1},x_{2},x_{3})= \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} &... ...2}{}^2 & x_{3}{}^2 \end{vmatrix} = (x_{2}-x_{1}) (x_{3}-x_{1}) (x_{3}-x_{2})\,.$$ (817)

$$V(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})= \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{1}... ...{}^2 & x_{4}{}^2 \\ x_{1}{}^3 & x_{2}{}^3 & x_{3}{}^3 & x_{4}{}^3 \end{vmatrix}$$ (818)

$$= (x_{2}-x_{1}) (x_{3}-x_{1}) (x_{4}-x_{1}) (x_{3}-x_{2}) (x_{4}-x_{2}) (x_{4}-x_{3})\,.$$ (819)

定義 4.111 (コンパニオン行列式)   行列式

$$F = \underbrace{ \begin{vmatrix}a_{0}\! & \!-1\! & & & & \\ a_{1}\!... ..._{n-1}\!& & & & \!\ddots\! & \!-1 \\ a_{n}\! & & & & & \!x \end{vmatrix}}_{n+1}$$ (820)

をコンパニオン行列式（companion determinant）という．

定理 4.112   コンパニオン行列式は

$$F=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-2}x^2+a_{n-1}x+a_{n}$$ (821)

が成り立つ．

（証明） 行列式を

$$F(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{n};x)= \underbrace{ \begin{... ..._{n-1}\!& & & & \!\ddots\! & \!-1 \\ a_{n}\! & & & & & \!x \end{vmatrix}}_{n+1}$$ (822)

とおく．第 $1$ 行目を余因子展開すると

$$F(a_{0},a_{1},\cdots,a_{n};x) = a_{0} \underbrace{ \begin{vmatrix}x\! & \!-1\! & & & \\ & \!x\!... ...& \\ a_{n-1}\!& & & \!\ddots\! & \!-1 \\ a_{n}\! & & & & \!x \end{vmatrix}}_{n}$$ (823)

となる． 前の項の行列式は上三角行列なので対角線分の積で表される． 後の項の行列式はサイズと係数が異なるコンパニオン行列式となる． よって

$$F(\overbrace{a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}}^{n+1};x) = a_{0}x^{n} +F(\overbrace{a_{1},\cdots,a_{n}}^{n};x)$$ (824)

と表される． これを繰り返すと

$$F(\overbrace{a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}}^{n+1};x) = a_{0}x^{n} +F(\overbrace{a_{1},\cdots,a_{n}}^{n};x)$$ (825)

$$= a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1} +F(\overbrace{a_{2},\cdots,a_{n}}^{n-1};x)$$ (826)

$$= a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2} +F(\overbrace{a_{3},\cdots,a_{n}}^{n-2};x)$$ (827)

$$= a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots+a_{n-2}x^2 +F(\overbrace{a_{n-1},a_{n}}^{2};x)$$ (828)

$$= a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\cdots+a_{n-2}x^2+a_{n-1}x+a_{n}$$ (829)

を得る．

例 4.113 (コンパニオン行列式の具体例)  

$$F(a_{0},a_{1};x) = \begin{vmatrix}a_{0} & -1 \\ a_{1} & x \end{vmatrix} = a_{0}x-(-1)a_{1}= a_{0}x+a_{1}\,.$$ (830)

$$F(a_{0},a_{1},a_{2};x) = \begin{vmatrix}a_{0} & -1 & \\ a_{1} & x & -1 \\ a_{2} & & x \e... ...\\ & x \end{vmatrix} -(-1) \begin{vmatrix}a_{1} & -1 \\ a_{2} & x \end{vmatrix}$$ (831)

$$= a_{0}x^{2}+a_{1}x-(-1)a_{2} = a_{0}x^2+a_{1}x+a_{2}\,.$$ (832)

$$F(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3};x) = \begin{vmatrix}a_{0} & -1 & & \\ a_{1} & x & -1 & \\ a_{2} & & ... ...(-1) \begin{vmatrix}a_{1} & -1 & \\ a_{2} & x & -1 \\ a_{3} & & x \end{vmatrix}$$ (833)

$$= a_{0}x^3+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}\,.$$ (834)

問 4.114 (行列式の計算)  

$$\begin{vmatrix}1 & a & b & c\!+\!d \\ 1 & b & c & d\!+\!a \\ 1 & d & d & a\!+\!b \\ 1 & d & a & b\!+\!c \end{vmatrix}=0$$ (835)

となることを示せ．

（証明）

$$\begin{vmatrix}1 & a & b & c\!+\!d \\ 1 & b & c & d\!+\!a \\ 1 & ... ... & b & 1 \\ 1 & b & c & 1 \\ 1 & d & d & 1 \\ 1 & d & a & 1 \end{vmatrix} =0\,.$$ (836)

平成20年2月2日