2.41 連続関数

定義 2.146 (連続関数)   関数 $f(x)$ が定義内の任意の点において連続であるとき， $f(x)$ は連続関数（continuous function）であるという．

例 2.147 (連続関数の具体例)   次の関数は連続関数である．

$$f(x) =x^n\quad(n=1,2,3,\cdots)\quad(-\infty<x<\infty)$$

$$f(x) =\log x\quad(x>0)$$

$$f(x) =\sin(x)\quad (-\infty<x<\infty)\,$$

$$f(x) =\cos(x)\quad (-\infty<x<\infty)\,$$

$$f(x) =\tan(x)\quad\left(\frac{2n-1}{2}\pi<x<\frac{2n+1}{2}\pi\,, \quad n=0,\pm1,\pm2,\cdots\right)$$

定義 2.148 (閉区間における連続関数)   関数 $f(x)$ の定義域が閉区間 $a\leq x \leq b$ のとき， その端点では条件

$$\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)\,, \qquad \lim_{x\to b-0}f(x)=f(b)\,$$

をみたすとき連続であるとする．

例 2.149 (閉区間における連続関数の具体例)   $f(x)=\sqrt{4-x^2}\ (-2\leq x\leq 2)$ は連続関数である． なぜなら

$$f(-2) =\lim_{x\to2+0}f(x)=0\,, \qquad f(2)=\lim_{x\to2-0}f(x)=0\,$$

が成立するからである．

定理 2.150 (連続関数に関する性質)   関数 $f(x)$ と $g(x)$ が連続関数のであるとき，関数

$$f(x)+g(x)\,, \qquad \alpha f(x)+\beta g(x)\,, \qquad f(x)g(x)\,, \qquad \frac{f(x)}{g(x)}\,, \qquad f(g(x))$$

もすべて連続関数である． ただし $f(x)/g(x)$ の定義域は $g(x)=0$ とならないものをとることにする．

例 2.151 (連続関数に関する性質の具体例)   べき関数 $x^n$ は連続関数である． よってべき関数の線形結合である多項式 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}$ も 連続関数である．

例 2.152 (連続関数に関する性質の具体例)   多項式 $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}$ と $b_{0}x^{m}+ b_{1}x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_{m}$ は連続関数である． よってそれらの商である有理関数

$$\frac{a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}} {b_{0}x^{m}+ b_{1}x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_{m}}$$

も連続関数である．

例 2.153 (連続関数に関する性質の具体例)   $x^2$ と $\sin x$ は連続関数である． よってそれらの合成関数である $\sin(x^2)$ も連続関数である．

問 2.154 (連続関数の定義域)   次の関数が連続となる $x$ の範囲を定めよ．

$$(1)\quad f(x)=\frac{x^2}{x-1}$$

$$(2)\quad f(x)=\frac{1+\sin x}{1+\cos x}$$

$$(3)\quad f(x)=\frac{1-\vert x\vert}{x}$$

平成19年10月3日