6.18 三角関数の定積分

問 6.84 (三角関数の定積分)   自然数 $n,m$ に対して

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0\,,$$

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0\,,$$

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,,$$

$$\int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0\,,$$

$$\int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,$$

となることを示せ（ヒント：積和の公式）． ただし， $\delta_{n,m}$ はクロネッカーのデルタ（Kronecker's delta） である．

問 6.85 (三角関数の定積分)   定積分

$$I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\,,\quad J_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx\,\qquad (n=0,1,2,\cdots)$$

は

$$I_{n}=J_{n}= \frac{(n-1)!!}{n!!}\varepsilon_{n}\,,\qquad \varepsi... ...($n$: 偶数)} \\ [2ex] \displaystyle{1} & \text{($n$: 奇数)} \end{array} \right.$$

となることを示せ（ヒント: 例 を用いよ）．

平成19年10月3日