6.19 図形の面積

定理 6.86 (図形の面積)   曲線 $y=f(x)$ , $y=g(x)$ と直線 $x=a$ , $x=b$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$$S = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx$$

により求まる．

定理 6.87 (図形の面積)   曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸 と直線 $x=a$ , $x=b$ で囲まれてできる領域の 面積は

$$S = \int_{a}^{b}\vert f(x)\vert\,dx$$

により求まる．

例 6.88 (図形の面積の計算例)   単位円 $x^2+y^2=1$ の内部の領域の面積を求める． 円の方程式は書き直すと

$$y =\pm\sqrt{1-x^2}$$

と表される．$y(x)$ は 2 価関数である． 枝をそれぞれ

$$f(x) =\sqrt{1-x^2}\,,\quad g(x)=-\sqrt{1-x^2}$$

とおく．このとき円の面積は

$$S = \int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,dx= \int_{-1}^{1}\left(\sqrt{1-x^2}-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)\right)\,dx= 2\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$

$$= 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx$$

$$x=\cos t dx/dt=-\sin t x:0\to1 t:\pi/2\to0$$

$$= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sqrt{1-\cos^2t}(-\sin t)\,dt$$

$$\cos^2t+\sin^2=1$$

$$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\vert\sin t\vert\sin t\,dt$$

$$0\leq t\leq\pi/2 \sin t\ge0$$

$$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t\,dt$$

$$\sin^2 t=(1-\cos2t)/2$$

$$= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2t)\,dt= \Big[2t-\sin 2t\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= 2\times\frac{\pi}{2}-0-\sin(\pi)+\sin(0)=\pi$$

と求まる．

例 6.89 (図形の面積の計算例)   曲線 $x=y^2$ と直線 $x=y+2$ とで囲まれてできる領域の 面積は

$$S = \int_{0}^{1}(\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))\,dx+ \int_{1}^{4}(\sqrt{x}-(x-2))\,dx$$

により求まる．

例 6.90 (図形の面積の計算例)   円 $x^2+y^2=1$ を直線 $2x+2y=1$ で 2 つに分割する． 分割された上側の領域の面積を求める． 面積は

$$S = \int_{-1}^{\alpha}(\sqrt{1-x^2}-(-\sqrt{1-x^2}))\,dx+ \int_{\alpha}^{\beta}(\sqrt{1-x^2}-\frac{1-2x}{2})\,dx$$

により求まる．ここで，$\alpha$ , $\beta$ （ $\alpha<\beta$ ）は 円と直線の交点の $x$ 座標で

$$x^2+\left( \frac{1-2x}{2} \right)^2=1$$

の根である． 計算は自習．

平成19年10月3日