4.5 線形変換

定理 4.24 (線形写像の表現行列) $\mathbb{R}^n$ の基底を $\Sigma'=\{\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_n\}$ とし，座標を , $\cdots$ , $x'_n)_{\Sigma'}$ とおく．このとき，任意の線形変換 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ は

$\displaystyle \vec{y}'= B\vec{x}'= (P^{-1}AP)\vec{x}', \qquad \vec{y}'= \begin{... ...{bmatrix}, \quad P= \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \cdots & \vec{u}_n \end{bmatrix}$

と行列表示で書ける．ただし，は $\mathbb{R}^n$ の標準基底 $\Sigma$ に関するの表現行列とする．また，は $\Sigma$ に対する $\Sigma'$ の基底の変換行列であり， $B=P^{-1}AP$ を $\mathbb{R}^n$ の基底 $\Sigma'$ に関する表現行列という．

例 4.25 (線形変換の表現行列の基底の取り替えの具体例) 線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ ;

$\displaystyle \vec{y}= \begin{bmatrix}7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\vec{x}=A\vec{x}$

の基底

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

における表現行列を求める． $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x _2 \end{bmatrix} = x_1\vec{e}_1+... ...& \vec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} = U\vec{x}'$

と表される．は $\mathbb{R}^2$ の標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ に対する基底 $\Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ の基底の変換行列であり， $\vec{x}=U\vec{x}'$ は座標 $(x_0,x_1)_{\Sigma}$ から座標 $(x'_0,x'_1)_{\Sigma'}$ への座標変換を表す． $\vec{y}\in\mathbb{R}^2$ であるから，同様に $\vec{y}=U\vec{y}'$ が成り立つ．これより，

$\displaystyle U\vec{y}'$	$\displaystyle =\vec{y}= f(\vec{x})= f(x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2)= x'_1f(\vec{... ...ec{u}_1) & f(\vec{u}_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}A\vec{u}_1 & A\vec{u}_2 \end{bmatrix} \vec{x}' = A \begin{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 \end{bmatrix} \vec{x}' = AU\vec{x}'$

となるので，

$\displaystyle \vec{y}'=(U^{-1}AU)\vec{x}'=B\vec{x}'$

が成立する．よって基底 $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関するの表現行列は

$\displaystyle B= U^{-1}AU= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \be... ...trix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

により定まる．また，基底 $\Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ に関する行列表示は

$\displaystyle \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$

であり，

$\displaystyle y'_1=x'_1, \qquad y'_2=4x'_2$

とも書ける．座標系 $\Sigma'$ において線形写像は，軸方向は変化せず，軸方向は倍となる変換である．