4.6 一般の線形写像の表現行列

$n$ 次元のベクトル空間 $U$ と $m$ 次元のベクトル空間 $V$ において， 基底をそれぞれ $\Sigma=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$, $\Pi=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ とすると， $U$, $V$ の任意のベクトルはそれぞれ

$$( )\quad U\ni\vec{x} = \tilde{x}_1\vec{u}_1+ \tilde{x}_2\vec{u}_2+ \cdots+ \tilde{x}_n... ...\left(\vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)\vec{\tilde{x}}$$

$$( )\quad V\ni\vec{y} = \tilde{y}_1\vec{v}_1+ \tilde{y}_2\vec{v}_2+ \cdots+ \tilde{y}_m... ...\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)\vec{\tilde{y}}$$

と表される． このとき， 線形写像 $f:U\to V$; $\vec{y}=f(\vec{x})$ は

$$\vec{y} =f(\vec{x})= f(\tilde{x}_1\vec{u}_1+ \tilde{x}_2\vec{u}_2+ \cdots... ...begin{bmatrix}\tilde{x}_1 \\ \tilde{x}_2 \\ \vdots \\ \tilde{x}_n \end{bmatrix}$$

$$( ) \qquad = \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)\vec{\tilde{x}}$$

となる． ベクトル $f(\vec{u}_1)$, $f(\vec{u}_2)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)$ は $V$ のベクトルであるから， 基底 $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ を用いて

$$f(\vec{u}_1) = a_{11}\vec{v}_1+ a_{21}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{m1}\vec{v}_m,$$

$$f(\vec{u}_2) = a_{12}\vec{v}_1+ a_{22}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{m2}\vec{v}_m,$$

$$\qquad \vdots$$

$$f(\vec{u}_n) = a_{1n}\vec{v}_1+ a_{2n}\vec{v}_2+ \cdots+ a_{mn}\vec{v}_m$$

と表されるので

$$( )\qquad \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\... ...\, \vec{v}_m\right)A, \qquad A= \begin{bmatrix}a_{ij} \end{bmatrix}_{m\times n}$$

と書ける． 以上より(▲), (☆), (★)より

$$\left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)\... ...left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m\right)A\vec{\tilde{x}}$$

を得る． $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ は 1 次独立であるから

$$( )\qquad \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}$$

が成り立つ． 線形写像 $\vec{\tilde{y}}=\varphi(\vec{\tilde{x}})=A\vec{\tilde{x}}$ により 線形写像 $\vec{y}=f(\vec{x})$ が定まる．

注意 4.26 (一般のベクトル空間における線形写像)   一般のベクトル空間における線形写像 $f$ と 数ベクトル空間における線形写像 $\varphi$ とを 次のように同一視する：

$$U \quad \Leftrightarrow\quad \mathbb{R}^{n}$$

$$V \quad \Leftrightarrow\quad \mathbb{R}^{m}$$

$$\vec{x}\in U \quad \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{x}}\in\mathbb{R}^{n}$$

$$\vec{y}\in V \quad \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{y}}\in\mathbb{R}^{m}$$

$$f:U\to V \quad \Leftrightarrow\quad \varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$$

$$\vec{y}=f(\vec{x}) \quad \Leftrightarrow\quad \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}$$

定義 4.27 (線形写像の表現行列)   ベクトル空間 $U$ の基底を $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ とし， ベクトル空間 $V$ の基底を $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ とする． このとき， 線形写像 $f:U\to V$ が

$$\left(f(\vec{u}_{1}),\,\, f(\vec{u}_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{... ...}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m}\right)A, \qquad A:m\times n$$

をみたすとき， 行列 $A$ を $U$ の基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ に関する 表現行列という．

定理 4.28 (線形写像の行列表示)   線形写像 $f:U\to V$ において， ベクトル空間 $U$ の基底が $\Sigma=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ であり， その基底における座標を $(\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n)_{\Sigma}$ とし， ベクトル空間 $V$ の基底が $\Pi=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$ であり， その基底における座標を $(\tilde{y}_1,\tilde{y}_2,\cdots,\tilde{y}_m)_{\Pi}$ とする． このとき， 行列 $A$ が $f$ の表現行列であることと，

$$\vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}, \qquad \tilde{x}= \begin{bmatri... ...begin{bmatrix}\tilde{y}_1 \\ \tilde{y}_2 \\ \vdots \\ \tilde{y}_m \end{bmatrix}$$

が成り立つこととは，必要十分条件である．

注意 4.29 (表現行列)   $U=\mathbb{R}^{n}$, $V=\mathbb{R}^{m}$ とし， $\mathbb{R}^{n}$ の基底を標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$ とし， $\mathbb{R}^{m}$ の基底を標準基底 $\{\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2},\cdots,\vec{e}'_{m}\}$ とする． このとき $\vec{x}=\vec{\tilde{x}}$, $\vec{y}=\vec{\tilde{y}}$ となるから， (♭)は $\vec{y}=A\vec{x}$ となる． よって， 本節の表現行列の定義により定まる $A$ と 前節の表現行列の定義により定まる $A$ とは， この条件のもとで一致する．

注意 4.30 (表現行列)   線形写像 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の標準基底に おける表現行列は $A$ である．

定理 4.31 (基底を取り換えたときの表現行列)   線形写像 $f:U\to V$ において $U$ の基底 $\{\vec{u}_{1}$, $\vec{u}_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}_{m}\}$ に 関する表現行列を $A$ とする． すなわち，

$$\left(f(\vec{u}_{1}),\,\, f(\vec{u}_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{... ...ight)= \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m} \right)A$$

とする． $U$ の基底 $\{\vec{u}'_{1}$, $\vec{u}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{u}'_{n}\}$ と $V$ の基底 $\{\vec{v}'_{1}$, $\vec{v}'_{2}$, $\cdots$, $\vec{v}'_{m}\}$ に 関する表現行列を $B$ とする． すなわち，

$$\left(f(\vec{u}'_{1}),\,\, f(\vec{u}'_{2}),\,\, \cdots,\,\, f(\ve... ...t)= \left(\vec{v}'_{1},\,\, \vec{v}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}'_{m} \right)B$$

とする． このとき

$$B=Q^{-1}AP$$

が成り立つ． ここで $P$, $Q$ は基底の変換行列であり，

$$\left(\vec{u}'_{1},\,\, \vec{u}'_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_{n... ...ight)= \left(\vec{v}_{1},\,\, \vec{v}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_{m} \right)Q$$

である．

（証明）     まず，

$$\left(f(\vec{u}'_1),\,\, f(\vec{u}'_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n) \right)$$

$$= \left(f\left(\sum_{k}p_{k1}\vec{u}'_k\right),\,\, f\left(\sum_{... ...vec{u}'_k\right),\,\, \cdots,\,\, f\left(\sum_{k}p_{kn}\vec{u}'_k\right)\right)$$

$$= \left(\sum_{k}p_{k1}f(\vec{u}'_k),\,\, \sum_{k}p_{k2}f(\vec{u}'_k),\,\, \cdots,\,\, \sum_{k}p_{kn}f(\vec{u}'_k) \right)$$

$$= \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n) \right)P$$

$$= \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m \right)AP$$

が成り立つ．また，

$$\left(f(\vec{u}'_1),\,\, f(\vec{u}'_2),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}... ... \right)B = \left(\vec{v}_1,\,\, \vec{v}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_m \right)QB$$

となる．よって，$AP=QB$ であり

$$B=Q^{-1}AP$$

が成り立つ．

定理 4.32 (線形変換の表現行列の基底の取り替え)   ベクトル空間 $U$ の基底 $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ における 線形変換 $f$ の表現行列を $A$ とし， 基底 $\{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$ における $f$ の表現行列を $B$ とする． また，基底 $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$ から 基底 $\{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$ への 基底の変換行列を $P$ とする． このとき

$$B=P^{-1}AP$$

が成り立つ．

（証明）     まず，表現行列 $A$, $B$ は定義より

$$\left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)= \left(\v... ...\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n\right)B$$

をみたす．基底の変換行列 $P$ は

$$\left(\vec{u}'_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}'_n\right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)P$$

をみたす． このとき

$$\left(f(\vec{u}'_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(... ...\,\, f(\vec{u}_n)\right)P= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)AP,$$

$$\left(f(\vec{u}'_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}'_n)\right)= \left(... ...ts,\,\, \vec{u}'_n\right)B= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)PB$$

が成り立つので $AP=PB$ となる． よって $B=P^{-1}AP$ を得る．

例 4.33 (表現行列の基底の取り替えの具体例)   線形変換 $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$;

$$( )\qquad g(x)=F(f(x))=f'(x)x+f(0)x^2+f(1)$$

の表現行列を求める． $\mathbb{R}[x]_2$ の基底を $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ とし， 多項式 $f(x)$, $g(x)$ を表すと

$$( ) \qquad f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{a},$$

$$( ) \qquad g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)\vec{b}$$

となる． このとき(☆)より

$$g(x) =F(f(x))=F(a_0+a_1x+a_2x^2)= a_0F(1)+a_1F(x)+a_2F(x^2)$$

$$= \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}= \left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right)\vec{a}$$

となる． ここで， $f=1$, $f=x$, $f=x^2$ を(☆)に代入すると それぞれ $g=1+x^2$, $g=1+x$, $1+2x^2$ となるので，

$$\left(F(1),\,\, F(x),\,\, F(x^2)\right) = \left(1+x^2,\,\, 1+x,\,\, 1+2x^2\right)= \left(1,\,\, x,\,\, x^... ... 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A$$

を得る． $A$ は基底 $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ に関する $F$ の表現行列である． これを代入すると

$$( )\qquad g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A \vec{a}$$

となる． (▲)と比較すると $\vec{b}=A\vec{a}$ が成立する． よって，線形変換 $F$ は

$$\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; \qquad \vec{b}=\varphi(\vec{... ...1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$

と行列表示で書かれた線形変換 $\varphi$ と等価である．

次に基底 $\{1+x, \,\,x+x^2, \,\,x^2\}$ に関する 表現行列 $B$ を求める． すなわち，$B$ は

$$\left(F(1+x),\,\, F(x+x^2),\,\, F(x^2)\right)= \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)B$$

をみたす． 基底 $\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ から $\{1+x, \,\,x+x^2, \,\,x^2\}$ への 変換行列 $P$ は

$$\left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\rig... ...0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P$$

により与えられる． このとき，多項式 $f(x)$, $g(x)$ は

$$( )\quad f(x) = \tilde{a}_0(1+x)+\tilde{a}_1(x+x^2)+\tilde{a}_2x^2$$

$$= \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}\tilde{a}_0 ... ...,\, x^2\right)\vec{\tilde{a}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{a}},$$

$$( )\quad g(x) = \tilde{b}_0(1+x)+\tilde{b}_1(x+x^2)+\tilde{b}_2x^2$$

$$= \left(1+x,\,\, x+x^2,\,\, x^2\right)\begin{bmatrix}\tilde{b}_0 ... ...\,\, x^2\right)\vec{\tilde{b}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{b}}$$

となる． (△), (▲)と(□), (■)とを比較すると

$$\vec{a}=P\vec{\tilde{a}}, \qquad \vec{b}=P\vec{\tilde{b}} \qquad\... ...arrow\qquad \vec{\tilde{a}}=P^{-1}\vec{a}, \qquad \vec{\tilde{b}}=P^{-1}\vec{b}$$

を得る． これは基底 $\Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$ における 座標 $(a_0,a_1,a_2)_{\Sigma}$ と 基底 $\Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$ における 座標 $(\tilde{a}_0,\tilde{a}_1,\tilde{a}_2)_{\Sigma'}$ との座標変換を表す． (♭), (□), (■)より

$$g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)P\vec{\tilde{b}} = \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A\vec{a}= \left(1,\,\, x,\,\,, x^2\right)AP\vec{\tilde{a}}$$

となるので， $P\vec{\tilde{b}}=AP\vec{\tilde{a}}$ となり，

$$\vec{\tilde{b}}= (P^{-1}AP)\vec{\tilde{a}}= B\vec{\tilde{a}}$$

を得る． 以上より基底 $\Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$ に関する $F$ の表現行列 $B$ は

$$B=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \e... ...nd{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2 & 1 \\ -1 &-1 &-1 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}$$

と得られる． よって，基底 $\Sigma'$ に関する線形変換 $F$ の行列表示は

$$\tilde{\varphi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; \qquad \tilde{\vec{b... ...bmatrix} \begin{bmatrix}\tilde{a}_0 \\ \tilde{a}_1 \\ \tilde{a}_2 \end{bmatrix}$$

となる．

Kondo Koichi
平成18年1月17日