4.4 一般の基底に関する表現行列

定理 4.21 (線形写像の表現行列) $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{R}^m$ の基底をそれぞれ $\Sigma'=\{\vec{u}_1$ , $\cdots$ , $\vec{u}_n\}$ , $\Pi'=\{\vec{v}_1$ , $\cdots$ , $\vec{v}_m\}$ とする．また， $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{R}^m$ の座標をそれぞれ $(x'_1,\cdots,x'_n)_{\Sigma'}$ , $(y'_1,\cdots,y'_m)_{\Pi'}$ とおく．このとき，任意の線形写像 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ は

	$\displaystyle \vec{y}'= B\vec{x}'= (Q^{-1}AP)\vec{x}',$
	$\displaystyle \vec{y}'= \begin{bmatrix}y'_1 \\ \vdots \\ y'_m \end{bmatrix}, \q... ...{bmatrix}, \quad Q= \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_m \end{bmatrix}$

と行列表示で書ける．ただし，は $\mathbb{R}^n$ の標準基底 $\Sigma$ と $\mathbb{R}^m$ の標準基底 $\Pi$ に関するの表現行列とする．また，は $\Sigma$ に対する $\Sigma'$ の基底の変換行列であり，は $\Pi$ に対する $\Pi'$ の基底の変換行列である． $B=Q^{-1}AP$ を $\mathbb{R}^n$ の基底 $\Sigma'$ と $\mathbb{R}^m$ の基底 $\Pi'$ に関する表現行列という．

例 4.22 (基底を取り換えたときの表現行列の具体例) 線形写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ ;

$\displaystyle \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}= \begin{bmatrix}2 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \vec{x}$

を考える． $\mathbb{R}^{3}$ の基底を

$\displaystyle \Sigma'= \{\vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3}\} = \left\... ... \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$

とし， $\mathbb{R}^{2}$ の基底を

$\displaystyle \Pi'= \{\vec{v}_{1},\,\,\vec{v}_{2}\} = \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$

とする．基底 $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\vec{u}_{3}\}$ と基底 $\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}$ に関するの表現行列を求める．まず， $\mathbb{R}^3$ , $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトルはそれぞれ

$\displaystyle \mathbb{R}^3\ni \vec{x}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1\vec{e}_1+x... ..._3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{bmatrix} = U\vec{x}',$
$\displaystyle \mathbb{R}^2\ni \vec{y}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = y_1\tilde{\vec{e}}_1+... ...& \vec{v}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = V\vec{y}'$

と表される．は $\mathbb{R}^3$ の標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ から基底 $\Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ への基底の変換行列であり，は $\mathbb{R}^2$ の標準基底 $\Pi=\{\tilde{\vec{e}}_1,\tilde{\vec{e}}_2\}$ から基底 $\Pi'=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ への基底の変換行列である． $\vec{x}=U\vec{x}'$ は座標 $(x_1,x_2,x_3)_{\Sigma}$ から座標 $(x'_1,x'_2,x'_3)_{\Sigma'}$ への座標変換を表し，同様に， $\vec{y}=V\vec{y}'$ は座標 $(y_1,y_2)_{\Pi}$ から座標 $(y'_1,y'_2)_{\Pi'}$ への座標変換を表す．このとき，

$\displaystyle \vec{y}$	$\displaystyle =f(\vec{x})= f(x'_1\vec{u}_1+ x'_2\vec{u}_2+ x'_3\vec{u}_3)= x'_1f(\vec{u}_1)+ x'_2f(\vec{u}_2)+ x'_3f(\vec{u}_3)$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}f(\vec{u}_1) & f(\vec{u}_2) & f(\vec{u}_3) \end{... ...in{bmatrix}\vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{bmatrix} \vec{x}'= AU\vec{x}'$

となるので， $V\vec{y}'=AU\vec{x}'$ より

$\displaystyle \vec{y}'= (V^{-1}AU)\vec{x}'= B\vec{x}'$

が成り立つ．よっては

$\displaystyle B=V^{-1}AU= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \beg... ... 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17 & 17 & 7 \\ -5 & -6 & -2 \end{bmatrix}$

により定まる．あらためて行列表示すると

$\displaystyle \begin{bmatrix}y'_1 \\ y'_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17 & 1... ...\\ -5 & -6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \\ x'_3 \end{bmatrix}$

と表される．