3.8 解が存在しない連立 1 次方程式

例 3.32 (解が存在しない具体例) 方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0... ...\\ x_{4} \\ x_{5} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(457)

を考える．拡大係数行列の簡約化を行なうと，

$\displaystyle [A\vert\vec{b}]$

$\displaystyle = \left[ \begin{array}{ccccc\vert c} 1 & 0 & -1 & 0 & -2 & 1 \\ 0... ...0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$

(458)

を得る．方程式に書き戻すと

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{cccccc} x_{1} & & -x_{3} & & -2x_{5} & = 0 ... ...\ & & & x_{4} & -x_{5} & = 0 \\ 0 & +0 & +0 & +0 & +0 & = 1 \end{array} \right.$

(459)

となる．最後の行はとなるから，どのような $\vec{x}$ をとっても成立することはない．よってこの連立方程式の解は存在しない．ここで

$\displaystyle \mathrm{rank}\,(A)=3 < \mathrm{rank}\,([A\,\vert\,\vec{b}])=4$

(460)

が成り立つことに注意する．このとき解をもたない．