3.7 任意定数を含む解をもつ連立 1 次方程式

例 3.31 (任意定数を含む解の具体例) 方程式

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -4... ...x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

(450)

を考える．拡大係数行列の簡約化を行なうと，

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccccc\vert c} 1 & -2 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -... ... & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]$

(451)

を得る．ここで

$\displaystyle \mathrm{rank}\,(A)=3\,,\quad \mathrm{rank}\,([A\,\vert\,\vec{b}])=3$

(452)

が成立することに注意する．簡約化された拡大係数行列より方程式を復元すると，

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccl} x_{1} & -2x_{2} & & +3x_{4} & & = 2 ... ...m] & & x_{3} & -x_{4} & & = -1 \\ [.5em] & & & & x_{5} & = 1 \end{array}\right.$

(453)

である．主成分の列と同じ位置にある変数を左辺に残し，他の項を右辺に移項すると

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cl} x_{1} & = 2 + 2x_{2} - 3x_{4} \\ [.5em] x_{3} & = -1 +x_{4} \\ [.5em] x_{5} & = 1 \end{array}\right.$

(454)

となる．右辺にある変数 $x_{2}$ , $x_{4}$ は独立に任意の値をとる．よって $x_{2}=c_{1}$ , $x_{4}=c_{2}$ とおけば，解として

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{bmatrix}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}2+2c_{1}-3c_{2} \\ c_{1} \\ -1 + c_{2} \\ c_{2} \\ 1 \end{bmatrix} \qquad (c_{1},c_{2}\,$ ：任意定数 $\displaystyle )$	(455)
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_{1} \beg... ...0 \\ 0 \end{bmatrix}+ c_{2} \begin{bmatrix}-3 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$	(456)

を得る．解は 5 次元平面 $\mathbb{R}^{5}$ 内のある 2 次元平面となる．