1.13 内積と面積

注意 1.65 (ベクトルの内積の図説)   ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の成す角を $\theta$ とするとき

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\cos\theta= (\Vert\vec{a}\Vert\cos\theta)(\Vert\vec{b}\Vert)$$ (97)

が成り立つ． すなわち，辺の長さが $\Vert\vec{a}\Vert\cos\theta$ と $\Vert\vec{b}\Vert$ の長方形の面積を表す． 角度 $\theta$ の値により面積は変化する． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とが 同じ向きのとき，すなわち $\theta=0$ のときは， 面積は最大値をとり $\vec{a}\cdot\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert$ で与えられる． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ とが直交し $\theta=\pi/2$ のときは， 面積は最小値をとり $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ で与えられる．

定理 1.66 (平行四辺形の面積)   $\mathbb{R}^2$ 内の点 $O$, $A(\vec{a})$, $B(\vec{b})$, $D(\vec{a}+\vec{b})$ を考える． このとき平行四辺形 $OADB$ の面積は

$$S= \mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{... ..._{2} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$$ (98)

で与えられる．ただし $\mathrm{abs}(x)=\vert x\vert$ とする．

問 1.67 (平行四辺形の面積)   これを証明せよ．

（証明その1） 角度 $\theta=\angle AOB$ とする． 平行四辺形の面積は底辺の長さ $\Vert\vec{a}\Vert$ と 高さ $\Vert\vec{b}\Vert\sin\theta$ を掛けたものであるので， これを計算すると

$$S =\Vert\vec{a}\Vert\left(\Vert\vec{b}\Vert\sin\theta\right)= \Vert... ...\vec{b}\Vert\sin\theta= \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\sqrt{1-\cos^2\theta}$$ (99)

$$= \sqrt{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2- \left(\Vert\vec{a... ...2}= \sqrt{ (\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})- (\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$$ (100)

$$= \sqrt{ (a_{1}{}^2+a_{2}{}^2)(b_{1}{}^2+b_{2}{}^2)- (a_{1}b_{1}+... ...b_{2})^2}= \sqrt{ a_{1}{}^2b_{2}{}^2-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+ a_{2}{}^2b_{1}{}^2}$$ (101)

$$= \sqrt{ (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2 }= \left\vert a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right\vert$$ (102)

を得る．

（証明その2） $\mathbb{R}^3$ のベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad... ... \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec{a}= \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ c_3 \end{bmatrix}$$ (103)

が

$$\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}$$ (104)

を満すとする． このとき

$$c_3= \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}$$ (105)

が成り立つ． $\Vert\vec{c}\Vert=\vert c_{3}\vert$ はベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ が なす平行四辺形の面積に等しい．

Kondo Koichi
平成17年9月15日