1.8 における直線の方程式

1.8 $\mathbb{R}^2$ における直線の方程式

注意 1.37 ( $\mathbb{R}^{2}$ の直線の方程式) 直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}\in\mathbb{R}^2$ を考える．このとき

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}= \be... ...{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$

(44)

とおく． $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式は

$\displaystyle \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_0}{b}=t$

(45)

と表される．この式は点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り方向ベクトルが $\vec{p}={[a\,\,b]}^{T}$ であることが分かり易い形である．

式変形をする． , , $c'=-a'x_{0}-b'y_{0}$ とおく．すると

$\displaystyle a'(x-x_{0})+b'(y-y_0)=0$

(46)

であり，または

$\displaystyle a'x+b'y+c'=0$

(47)

となる．この式は $\vec{n}={[ a'\,\,\,\,b']}^{T}={[ b\,\,-a]}^{T}$ を用いると

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{q})=0$

(48)

とも表される． $\vec{x}-\vec{q}=t\vec{p}$ であるから，ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ を満たす．すなわち $\vec{n}$ は方向ベクトル $\vec{p}$ と直交する．方向ベクトルと直交するベクトルを 法線ベクトル（normal vector）という．

さらに式変形する． $\tilde{a}=-a'/b'=b/a$ とおく．すると

$\displaystyle y=\tilde{a}(x-x_{0})+y_{0}$

(49)

と表される．この式は

は

についての

次関数であることと，直線は点 $Q(x_{0},y_{0})$ を通り傾きが $\tilde{a}$ であることが分かり易い形である．

注意 1.38 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式) $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式はいくつかの書き方がある．まず，

$\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

(50)

と書くとき， ${\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}}^{T}$ は方向ベクトルを表す．

$\displaystyle y=ax+b$

(51)

と書くときでは，

は傾きを

は

切片をそれぞれ表す．

$\displaystyle ax+by+c=0$

(52)

と書くときは， ${\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}}^{T}$ は法線ベクトルを表す．

$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

(53)

と書けば，

は

切片を

は

切片をそれぞれ表す．

例 1.39 ( $\mathbb{R}^2$ の直線の方程式の具体例) 点

を通る直線の方程式を考える．まず

$\displaystyle \vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}\... ...rix}- \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}$

(54)

とおく． $\vec{p}$ は方向ベクトルである．直線の方程式のパラメータ表示は

$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}(t)= \vec{q}+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{... ...begin{bmatrix}2 \\ -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2t+1 \\ -4t+2 \end{bmatrix}$