1.7 直線の方程式

定義 1.31 (直線)   $\mathbb{R}^n$ 空間内の点 $X$ の位置ベクトルが

$$\vec{x}(t) =\vec{q}+t\,\vec{p}\,,\quad \vec{x},\vec{p},\vec{q}\in\mathbb{R}^{n}\,,\quad \forall t \in\mathbb{R}$$ (36)

と表されるとき， 点 $X$ の軌跡を直線（line）という． $\vec{p}$ を方向ベクトル（tangent vector）という．

注意 1.32 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式)   直線 $\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}\in\mathbb{R}^3$ を考える． ここで

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}\,,\quad \vec{q}... ...\ z_{0} \end{bmatrix}\,,\quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$ (37)

とおく． $\vec{x}$ は点 $Q(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り 方向ベクトルが $\vec{p}$ の直線である． 成分をまとめて書くと

$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0} \\... ... c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x_{0}+at \\ y_{0}+bt \\ z_{0}+ct \end{bmatrix}$$ (38)

である． これを 直線の方程式のパラメータ表示と呼ぶことにする． また， $t$ についてまとめると 直線の方程式は

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t$$ (39)

と表される． これを $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の成分表示 である．

注意 1.33 (直線の方程式の成分表示)   直線の方程式

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$ (40)

は$3$ 変数，$2$ 本の 連立方程式であることに注意する．

問 1.34 (直線の方程式の成分表示)   $\mathbb{R}^n$ の直線の方程式の成分表示を求めよ．

問 1.35 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $(2,1,3)$ を通り 方向ベクトルが ${[-2\,\,3\,\,1]}^{T}$ の 直線の方程式を求めよ．

例 1.36 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2,-1)$, $B(-1,3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線は点 $A$ を通り，方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ である． すなわち，

$$\vec{q}=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bma... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (41)

とおく． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{q}+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatri... ...x}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2t \\ 2+t \\ -1-t \end{bmatrix}$$ (42)

である．$t$ を消去して 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{1}= \frac{z+1}{-1}$$ (43)

である．

Kondo Koichi
平成17年9月15日