1.9 内積

定義 1.47 (内積)   $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a}={[a_{1}\,\,a_{2}\,\,\cdots\,\,a_{n}]}^{T}$, $\vec{b}={[b_{1}\,\,b_{2}\,\,\cdots\,\,b_{n}]}^{T}$ に対して

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= (\vec{a},\vec{b})= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}= {\vec{a}}^{T}\vec{b}$$ (64)

なる二項演算を内積（inner product）または スカラー積（scalar product）という． また， $\mathbb{C}^{n}\ni\vec{a},\vec{b}$ に対しては

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= (\vec{a},\vec{b})= \sum_{k}^{n}a_{k}\overlin... ...\overline{b}_{2}+\cdots+ a_{n}\overline{b}_{n}= {\vec{a}}^{T}\overline{\vec{b}}$$ (65)

と定義する．

例 1.48 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$ (66)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}= 1\times2+1\times(-1)=1$$ (67)

である．

例 1.49 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$ (68)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$$ (69)

である．

例 1.50 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 1-i \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1+i \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$$ (70)

の内積は

$$\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+ a_{3}\overline{b}_{3}= (1+i)(2+2i)+(1-i)(-1-i)+1\cdot i=-2+3i$$ (71)

である．

定理 1.51 (内積の性質)    

(i)

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}= \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}$

(ii)

$(\alpha\vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})$

(iii)

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\overline{\vec{b}\cdot\vec{a}}$

(iv)

$\vec{a}\neq0$ のとき $\vec{a}\cdot\vec{a}>0$

問 1.52 (内積の性質)   これを示せ．

Kondo Koichi
平成17年9月15日