1.4 平行四辺形の面積

定理 1.17 (平行四辺形の面積)   点 $O$, $A(a_1,a_2)$, $B(b_1,b_2)$, $D(a_1+b_1,a_2+b_2)$ からなる平行四辺形 $OADB$ の面積は

$$S=\mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right)$$

で与えられる．

（証明）     まず，

$$\theta=\angle AOB, \quad \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix}\,, \quad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$$

とおく． すると，

$$S = \Vert\vec{a}\Vert\,\Vert\vec{b}\Vert\sin\theta= \Vert\vec{a}\Ve... ...ert\vec{b}\Vert^2- \left(\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\cos\theta\right)^2}$$ (1)

$$= \sqrt{ (\vec{a}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{b})- (\vec{a}\cdo... ...= \sqrt{ (a_{1}{}^2+a_{2}{}^2)(b_{1}{}^2+b_{2}{}^2)- (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^2}$$ (2)

$$= \sqrt{ a_{1}{}^2b_{2}{}^2-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+ a_{2}{}^2b_{1}... ...= \sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^2}= \left\vert a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right\vert$$ (3)

$$= \mathrm{abs}\left( \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right)$$ (4)

と得られる．

Kondo Koichi
平成18年1月18日