1.3 $\mathbb{R}^3$ の直線と平面

定義 1.9 (直線)   $xyz$ 空間における直線は， パラメータ $t$ を用いてベクトルで表すと，

$$\vec{x}(t)=\vec{x}_0+t\vec{p}, \qquad \vec{x}= \begin{bmatrix}x \... ...0 \\ z_0 \end{bmatrix}, \quad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b \\ c \end{bmatrix}$$

と書ける．$\vec{p}$ は方向ベクトルである． 成分で表すと， $\mathbb{R}^3$ の直線の方程式

$$\frac{x-x_0}{a}= \frac{y-y_0}{b}= \frac{z-z_0}{c}$$

が得られる．

定義 1.10 (平面の方程式)   $xyz$ 空間内の平面の方程式は

$$a(x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0$$

と表される．ベクトルで表記すると

$$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0$$

となる．$\vec{n}$ を法線ベクトルという．

注意 1.11 (平面，直線)   $x$, $y$, $z$ に関する非同次 1 次方程式の一般形は

$$ax+by+cz+d=0$$

である．この方程式は $xyz$ 空間内の 法線ベクトルが ${\begin{bmatrix}a & b & c \end{bmatrix}}^T$ で点 $(0,0,-d/c)$ を通る平面を表す． 非同次 1 次方程式を 2 本の方程式で連立すると

$$a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0, \quad a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$

である．方程式のそれぞれは法線ベクトルが ${\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \end{bmatrix}}^T$ と ${\begin{bmatrix}a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}}^T$ の 平面を表す． よって， この連立方程式の解集合は， 2 つの平面の共有点の集合である直線となる．

例 1.12 (直線)   2 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$ を通る $xyz$ 空間内の直線を考える． この直線の方向ベクトルは

$$\vec{p}=\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{... ...{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$$

である．直線のパラメータ表示は

$$\vec{x}(t)= \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix} = \... ...}2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1+2t \\ 1-t \\ -2+3t \end{bmatrix}$$

となる． $x=1+2t$, $y=1-t$, $z=-2+3t$ で $t$ を消去すると， 直線の方程式

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+2}{3}$$

を得る．

例 1.13 (平面)   3 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$, $C(2,1,-1)$ を通る $xyz$ 空間内の平面を考える． 法線ベクトルは

$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}= \begin{bma... ...1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{e}_z = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

であり，点 $A(1,1,-2)$ を通るので， $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\overrightarrow{OA})=0$ より 平面の方程式

$$-(x-1)+(y-1)+(z+2)=0$$

を得る．一般形で書けば

$$x-y-z-2=0$$

となる．さらに変形して

$$\frac{x}{2}+ \frac{x}{-2}+ \frac{x}{-2}=1$$

とする． 平面と $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の交点はそれぞれ $x=2$, $y=-2$, $z=-2$ である．

例 1.14 (平面)   3 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$, $C(2,1,-1)$ を通る $xyz$ 空間内の平面を考える． 平面の方程式の一般形は

$$ax+by+cz+1=0$$

であるから，これに各点の座標を代入すると 連立方程式

$$a+b-2c+1=0, \quad 3a+c+1=0, \quad 2a+b-c+1=0$$

を得る．この方程式の解は

$$(a,b,c)=\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

である．よって平面の方程式は $x-y-z-2=0$ となる．

例 1.15 (直線)   連立方程式

$$x-y-z-2=0, \quad 2x+y-z-5=0$$

で定まる直線を考える． この直線は 2 つの平面の共有点である． 第 2 式から第 1 式を引いて $z$ を消去すると

$$x+2y-3=0$$

であり，第 1 式と第 2 式を足して $y$ を消去すると

$$3x-2z-7=0$$

となる． これらより

$$x=\frac{y-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z+\frac{7}{2}}{\frac{3... ...d\Rightarrow\quad \frac{x}{2}= \frac{y-\frac{3}{2}}{-1}=\frac{z+\frac{7}{2}}{3}$$

を得る． 直線は点 $(0,\frac{3}{2},-\frac{7}{2})$ を通り， 方向ベクトル $${{\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \end{bmatrix}}^T}$$ の 直線である． また，パラメータ表示すると

$$x=2t, \quad y=-t+\frac{3}{2}, \quad z=3t-\frac{7}{2}$$

である．$t$ は任意であるから， $t$ を $t+\frac{1}{2}$ と置き換えると，

$$x=2t+1, \quad y=-t+1, \quad z=3t-2$$

となり，式が簡単となる． このとき平面の方程式は

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+2}{3}$$

となる．直線は点 $(1,1,-2)$ も通る．

例 1.16 (直線)   連立方程式

$$x-y-z-2=0, \quad 2x+y-z-5=0$$

で定まる直線を考える． この直線は 2 つの平面の解集合であるから， 連立方程式

$$\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 5 \end{bmatrix}$$

を解く． 拡大係数行列を簡約化すると

$$\begin{bmatrix}1 & -1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & -1 & 5 \end{bmatrix} \qu... ...{\to}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & -2/3 & 7/3 \\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$$

となる． このとき方程式は

$$x-\frac{2}{3}z=\frac{7}{3}, \quad y+\frac{1}{3}z=\frac{1}{3}$$

と変形される． 階数が $2$ であるから，任意定数は 1 個であるので， 任意定数 $t$ を $z=t$ とおくと，

$$x=\frac{2}{3}t+\frac{7}{3}, \quad y=-\frac{1}{3}t+\frac{1}{3}, \quad z=t$$

を得る． $t$ は任意定数であるから，$t$ を $3t-2$ と置き換えると，

$$x=2t+1, \quad y=-t+1, \quad z=3t-2$$

を得る． $t$ を消去すると平面の方程式

$$\frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z+2}{3}$$

を得る．

Kondo Koichi
平成18年1月18日