3.12 曲面積

定理 3.59 (曲面積)   関数 $z=f(x,y)$ による曲面

$$B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=f(x,y),\,\, (x,y)\in D}\,\right\}$$

の曲面積は

$$S=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dxdy$$

で与えられる．

例 3.60 (球面の表面積)   半径 $a$ の球面は

$$B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2}\,\right\}$$

である．表面積 $S$ は 8 等分して

$$S=8\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy,$$

$$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},$$

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2,\,\, x\ge0,\,\, y\ge0}\,\right\}$$

により求まる． $z$ は $x^2+y^2=a^2$ により定まる陰関数であるから，

$$z_x=-\frac{x}{z}, \quad z_y=-\frac{y}{z}$$

となる． 被積分関数は

$$\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2}}= \frac{a}{z}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$

であらから，表面積は

$$S = 8a\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= 8a\iint_{E}\frac{r... ...theta= 8a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$$

$$= 8a \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta}\,\rig... ...rule height1.5em width0em depth0.1em\,{-\sqrt{a^2-r^2}}\,\right]_0^a = 4\pi a^2$$

と得られる．

例 3.61 (曲面積)   曲面

$$B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2=a^2,\,\,x^2+y^2\leq ax,\,\,z\ge0}\,\right\} \quad(a>0)$$

の曲面積

$$S=\iint_{D}\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\,dxdy, \quad z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

を求める． $z$ は $x^2+y^2+z^2=a^2$ により定まる陰関数であるから，

$$z_x=-\frac{x}{z}, \qquad z_y=-\frac{y}{z}$$

となり，

$$\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}= \sqrt{1+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}... ...^2+y^2+z^2}{z^2}}= \sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}= \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$

を得る．これを用いると曲面積は

$$S =a \iint_{D}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy= a \iint_{E}\frac{r}... ...pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{a\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$$

$$= a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \left[\vrule hei... ...t\right)d\theta =2a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\sin\theta\right)d\theta$$

$$= 2a^2 \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\theta+\cos\theta}\,\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\pi-2)a^2$$

と求まる．

問 3.62 (曲面積)   次の曲面 $B$ の曲面積 $S$ を求めよ．ただし $a>0$ とする．

$$(1) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x+y+z=a,\,\, x\ge0,\,\,y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$$

$$(2) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=xy,\,\, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

$$(3) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=\tan^{-1}\frac{y}{z},\,\, x^2+y^2\leq a^2,\,\, x\ge0,\,\,y\ge0,\,\,z\ge0}\,\right\}$$

$$(4) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2,\,\, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$$

$$(5) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2,\,\, x^2+y^2+z^2\leq 2a^2}\,\right\}$$

$$(6) \quad B=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=x^2+y^2,\,\, z\leq a}\,\right\}$$

Kondo Koichi
平成18年1月18日