3.8 斜交座標への置換積分

例 3.43 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$\iint_{D}(x-y)^2\,dxdy,\qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{\vert x+2y\vert\leq1,\,\vert x-y\vert\leq 1}\,\right\}$$

を求める． 積分変数を

$$u=x+2y,\qquad v=x-y$$

とおく．この逆は

$$x=\frac{u+2v}{3}, \qquad y=\frac{u-v}{3}$$

である． このとき領域 $D$ を $(u,v)$ で表すと

$$E=\left\{\left.\,{(u,v)}\,\,\right\vert\,\,{\vert u\vert\leq 1,\,\,\vert v\vert\leq 1}\,\right\}$$

となる． 座標変換 $(x,y)\mapsto(u,v)$ のヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \det \begin{bmatrix}\frac{\p... ...{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{vmatrix} = -\frac{1}{3}$$

である．これらより，

$$\iint_D(x-y)^2\,dxdy= \iint_E \left(\frac{u+2v}{3}-\frac{u-v}{3}\... ...tial(u,v)}\right\vert\,dudv = \iint_Ev^2\left\vert\frac{-1}{3}\right\vert\,dudv$$

$$= \frac{1}{3}\iint_Ev^2\,dudv = \frac{1}{3} \int_{-1}^{1}v^2\,dv\... ...ht) = \frac{4}{3} \left(\int_{0}^{1}v^2\,dv\right)\left(\int_{0}^{1}\,du\right)$$

$$= \frac{4}{3} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fra... ...times\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{u}\,\right]_0^1=\frac{4}{9}$$

を得る．

注意 3.44 (面素)   置換積分により面素は $dS=dxdy=\frac{1}{3}dudv$ と変換される． 直交座標 $xy$ では微小面積は， 辺の長さが $dx$, $dy$ の長方形の面積 $dS=dxdy$ である． これに対して斜交座標 $uv$ の微小面積は， 辺の長さが $du$, $dv$ の平行四辺形の面積 $dS=\frac{1}{3}dudv$ である． これを示す． $uv$ 座標の基底は

$$\vec{e}_u= \begin{bmatrix}x_u \\ y_u \end{bmatrix} = \frac{1}{3} ... ...rix}x_v \\ y_v \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

であり， 点 $O$, $A(\vec{e}_u)$, $B(\vec{e}_v)$, $C(\vec{e}_u+\vec{e}_v)$ から なる平行四辺形の面積は

$$S_0= \mathrm{abs}\left(\det \begin{bmatrix}\vec{e}_u & \vec{e}_v ... ...-1}{3} \end{vmatrix}\right)= \mathrm{abs}\left(-\frac{1}{3}\right)= \frac{1}{3}$$

である． ここで $\mathrm{abs}(x)=\vert x\vert$ とおいた． 面素 $dudv$ は辺の長さが $du$, $dv$ で 平行四辺形 $OABC$ と相似な図形であるから， 面素 $dudv$ の面積 $dS$ は

$$dS=S_0\,dudv=\frac{1}{3}\,dudv$$

と得られる．

問 3.45 (多重積分の変数変換)   領域 $D$ を下図 (b) のように 4 つに分割し多重積分を求めよ．

(a) 領域 $D$	(b) 領域 $D$ の分割
(c) $uv$ 座標	(d) 領域 $E$
(e) $xy$ 座標での $I$	(f) $uv$ 座標での $I$

Kondo Koichi
平成18年1月18日