3.7 多重積分の置換積分

注意 3.40 (定積分の置換積分)   定積分において積分変数を $x=\phi(t)$ と置き換えると

$$\int_a^bf(x)\,dx= \int_{\alpha}^{\beta}f(x)\frac{dx}{dt}dt= \int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)\,dt$$

となる． ただし， $\alpha=\phi^{-1}(a)$, $\beta=\phi^{-1}(b)$ である．

定理 3.41 (多重積分の置換積分)   多重積分

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy$$

において積分変数を $x=\phi(u,v)$, $y=\psi(u,v)$ と置き換える． このとき，

$$\iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \iint_{E}f(\phi(u,v),\psi(u,v)) \left\vert\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right\vert\,dudv$$

となる．ただし， $${ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$$ は ヤコビアン

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \det \begin{bmatrix}\frac{\p... ...in{vmatrix}\phi_u(u,v) & \psi_u(u,v) \\ \phi_v(u,v) & \psi_v(u,v) \end{vmatrix}$$

であり，$E$ は $(u,v)$ の領域

$$E=\left\{\left.\,{(u,v)}\,\,\right\vert\,\,{x=\phi(u,v),y=\psi(u,v),\,\forall(u,v)\in D}\,\right\}$$

である．

（証明）     $xy$ 座標の点 $(x,y)$, $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ は 標準基底 $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ を用いて，

$$\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= x\vec{e}_x+y\vec{e}_y, \quad... ...trix}1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{e}_y= \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

と表される． $uv$ 座標に座標変換すると，

$$x=\phi(u,v), \quad y=\psi(u,v), \quad x+\Delta x=\phi(u+\Delta u,v+\Delta v), \quad y+\Delta y=\psi(u+\Delta u,v+\Delta v)$$

とおける． このとき，$\Delta x$, $\Delta y$ は十分小さいとすると， $\Delta u$, $\Delta v$ も十分小さいので， テイラー展開して

$$x+\Delta x=\phi(u,v)+\phi_u(u,v)\Delta u+\phi_v(u,v)\Delta v+\cdots,$$

$$y+\Delta y=\psi(u,v)+\psi_u(u,v)\Delta u+\psi_v(u,v)\Delta v+\cdots$$

と書ける． $x=\phi(u,v)$, $y=\psi(u,v)$ であることに注意すると

$$\Delta x\vec{e}_x+\Delta y\vec{e}_y= \begin{bmatrix}\Delta x \\ \... ...\ \psi_v(u,v) \end{bmatrix}+\cdots = \Delta u\vec{e}_u+\Delta v\vec{e}_v+\cdots$$

が成り立つ． ここで，ベクトル

$$\vec{e}_u= \begin{bmatrix}\phi_u(u,v) \\ \psi_u(u,v) \end{bmatrix}, \qquad \vec{e}_v= \begin{bmatrix}\phi_v(u,v) \\ \psi_v(u,v) \end{bmatrix}$$

は点 $(u,v)$ における $uv$ 座標の基底となる．

頂点が $A(x,y)$, $B(x+\Delta x,y)$, $C(x,y+\Delta y)$, $D(x+\Delta x,y+\Delta y)$ からなる長方形の微小領域の面積は $\Delta S=\Delta x\Delta y$ である． 一方，$uv$ 座標において頂点が $A'(u,v)$, $B'(u+\Delta u,v)$, $C'(u,v+\Delta v)$, $D'(u+\Delta u,v+\Delta v)$ からなる領域は平行四辺形である． 平行四辺形 $A'B'C'D'$ の面積は， $\overrightarrow{A'B'}=\Delta u\vec{e}_u$, $\overrightarrow{A'C'}=\Delta v\vec{e}_v$ より，

$$\Delta S= \mathrm{abs}\left(\det \begin{bmatrix}\Delta u\vec{e}_u... ... \mathrm{abs}\left( \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right) \Delta u\Delta v$$

となる． 極限 $\Delta x$, $\Delta y\to 0$ においてもこれが成り立つので，

$$dS=dxdy=\mathrm{abs}\left( \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right) dudv$$

を得る．

注意 3.42 (置換積分)   1 変数関数の定積分では $dx=\phi'(t)dt$ に絶対値はつかない． これは積分区間 $[a,b]$ に向きを考えているためである． 例えば，$a>b$ のとき定積分の値の符合は反転される． 多重積分では， $dxdy=\vert\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\vert dudv$ に 絶対値がつく． これは面積要素に向きを考えないためである．

(a) $xy$ 座標	(b) $uv$ 座標

Kondo Koichi
平成18年1月18日