3.9 極座標への置換積分

例 3.46 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$$

を求める． 積分変数を

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta$$

とおく． このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \det \begin{bmatrix}\fr... ...{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r$$

であり，領域 $D$ を $(r,\theta)$ で表すと，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$$

となる． これらより，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dxdy= \iint_E((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2) ... ...\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right\vert\,drd\theta= \iint_Er^3\,drd\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^3\,dr= \left(\int_{0}^{2\pi... ...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,\right]_{0}^{a}=\frac{\pi a^4}{2}$$

を得る．

注意 3.47 (極座標の面素)   直交座標 $xy$ から極座標 $r\theta$ への変換で， 面素は $dS=dxdy=rdrd\theta$ と変換される． $xy$ 座標では辺の長さが $dx$ と $dy$ の長方形の面積であり， $r\theta$ 座標では辺の長さが $dr$ と $rd\theta$ （半径 $r$，角 $d\theta$ の円弧の長さ）の 長方形の面積となる．

問 3.48 (多重積分の変数変換)   領域 $D$ を $x$ に関して単純な領域とみなし， 多重積分を

$$I =\int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\,(x^2+y^2)$$

により求めよ．

(a) 領域 $D$	(b) $r\theta$ 座標	(c) 領域 $E$

(d) $xy$ 座標での $I$	(e) $r\theta$ 座標での $I$

Kondo Koichi
平成18年1月18日