1.2 の直線

1.2 $\mathbb{R}^2$ の直線

注意 1.5 (直線の方程式)

平面内の直線の方程式は

$\displaystyle y=ax+b$

と表される．

は傾きを表し，

は

切片である．また，式変形して

$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

と表すと，

は

切片であり，

は

切片を表す．式変形すると様々な意味をもつ．通常，直線の方程式の標準形は，非同次 1 次方程式

$\displaystyle ax+by+c=0$

の形で表す．

注意 1.6 (直線の方程式と方向ベクトル)

平面内の直線を

$\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$

と表す．このとき，パラメータ

を用いてベクトルで表記すると

$\displaystyle \vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{p}, \qquad \vec{p}= \begin{bmatrix}a \\ b... ...}x \\ y \end{bmatrix}, \quad \vec{x}_0= \begin{bmatrix}x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}$

とパラメータ表示される． $\vec{p}$ は直線の向きを表し， 方向ベクトル（direction vector）という．

注意 1.7 (直線の方程式と法線ベクトル)

平面内の直線を

$\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

と表す．このとき，ベクトルで表記すると

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0, \qquad \vec{n}= \begin{bmatrix... ...}x \\ y \end{bmatrix}, \quad \vec{x}_0= \begin{bmatrix}x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}$

と表される． $\vec{n}\perp\vec{x}-\vec{x}_0$ であり， $\vec{n}$ は直線に直交するベクトルである． $\vec{n}$ を法線ベクトル（normal vector）という．

例 1.8 (直線) 2 点

を通る直線を考える．この直線の方向ベクトルは

$\displaystyle \vec{p}=\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{... ...x}- \begin{bmatrix}2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 \\ 4 \end{bmatrix}$

である．直線の方程式のパラメータ表示は

$\displaystyle \vec{x}(t)= \begin{bmatrix}x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}= \vec{x}_0+... ...egin{bmatrix}-3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2-3t \\ -3+4t \end{bmatrix}$