2.34 接平面

注意 2.142 (曲面の法線ベクトル) 曲面上の曲線をパラメータ表示してとおく．このとき，

$\displaystyle F(x(t),y(t),z(t))=0$

が成り立つ．両辺をで微分すると

0	$\displaystyle =\frac{d}{dt}F(x(t),y(t),z(t))= \frac{\partial F}{\partial x}\fra... ...partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}+ \frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dt}$
	$\displaystyle = F_x(x,y,z)x'(t)+ F_y(x,y,z)y'(t)+ F_z(x,y,z)z'(t)$

となる．ベクトル表記すると

$\displaystyle \nabla F(\vec{x})\cdot \vec{x}'(t)=0$

である． $\nabla F(\vec{x})$ は曲線 $\vec{x}(t)$ の接ベクトルと常に直交する．

曲面上の点において，この点を通るあらゆる曲線を考える．便宜上 , , とおく．あるベクトル $\vec{n}$ がこの曲線の接ベクトル $\vec{x}'(0)$ と常に直交するとする．このとき， $\vec{n}$ を曲面の法線ベクトルという．曲線の接ベクトル $\vec{x}'(0)$ に直交するベクトルは $\nabla F$ であるから，法線ベクトルは $\vec{n}=\nabla F(\vec{a})$ である．

定理 2.143 (接平面) 曲面の点における 接平面（tangent plane）は

$\displaystyle F_x(a,b,c)(x-a)+ F_y(a,b,c)(y-b)+ F_z(a,b,c)(z-c)=0$

で与えられる．ベクトルで表記すると

$\displaystyle \nabla F(\vec{a})\cdot (\vec{x}-\vec{a})=0$

となる．

注意 2.144 (接平面) グラフの点における接平面は，とおき接平面を求めればよい． , , であるか，

$\displaystyle f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)-(z-f(a,b))=0$

となり，接平面は

$\displaystyle z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

と表される．この右辺は関数の点まわりのテイラー展開の 1 次近似と等しい．

例 2.145 (接平面) 球の点における接平面を求める．

$\displaystyle F_x=2x, \quad F_y=2y, \quad F_z=2z, \quad F_x(x_0,y_0,z_0)=2x_0, \quad F_y(x_0,y_0,z_0)=2y_0, \quad F_z(x_0,y_0,z_0)=2z_0$

より，接平面は

	$\displaystyle F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+ F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+ F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$
	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad 2x_0(x-x_0)+ 2y_0(x-y_0)+ 2z_0(x-z_0)=0$
	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y+z_0z-(x_0^2+y_0^2+z^2)=0 \quad\Rightarrow\quad x_0x+y_0y+z_0z=1$