2.5 偏微分

定義 2.21 (偏微分，偏微分係数)   関数 $f(x,y)$ の点 $(a,b)$ において， 極限

$$\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a... ...(a,b)}{\partial y}= \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$$

が存在するとき， 関数 $f(x,y)$ は 点 $(a,b)$ において， $x$ または $y$ に関して 偏微分可能（partial differentiable） であるという． この極限を 偏微分係数（partial differential coefficient）という．

定義 2.22 (偏動関数)   定義 $D$ 内の任意の点 $(x,y)$ に対して極限

$$\frac{\partial f}{\partial x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Del... ...ial f}{\partial y}= \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$

が存在するとき， これらを偏導関数（partial derivative）という． 偏導関数を求める操作を偏微分するという．

注意 2.23 (偏微分の記号)   関数 $z=f(x,y)$ の偏導関数は

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial x}, \quad f_x(x,y), \quad f_x, \quad z_x,$$

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}, \quad f_y(x,y), \quad f_y, \quad z_y$$

と表記する．

注意 2.24 (偏微分)   関数 $z=f(x,y)$ のグラフは $xyz$ 空間内の曲面となる． このグラフと平面 $y=b$ との共有点のグラフは $z=f(x,b)$ で与えられる曲線となる． このとき関数 $f(x,b)$ は $x$ についての 1 変数関数であるから， $x$ について微分すれば曲線 $z=f(x,b)$ の 傾き $f_x(x,b)$ が得られる．

同様にしてグラフ $z=f(x,y)$ と平面 $x=a$ との共有点の曲線 $z=f(a,y)$ は， $y$ についての 1 変数関数であるから， $y$ について微分すれば曲線 $z=f(a,y)$ の傾き $f_y(a,y)$ が得られる．

注意 2.25 (偏微分)   $x$ に関する偏微分の定義式において， $y$ は定数と考えて $x$ 方向の極限のみを考えている． 同様にして， $y$ に関する偏微分の定義式は， $x$ は定数と考えて $y$ 方向の極限のみを考えている． このとき定義式は $x$ と $y$ についての 1 変数関数の微分とそれぞれ等価となる． よって，ひとつの独立変数を除いて他のすべての独立変数を 定数と考えて 1 変数関数の微分をすればよい．

例 2.26 (偏微分)   関数

$$f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$$

を $x$ で偏微分すると，

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^3+5xy+2y^2) = \frac{\partial}{\... ...partial x}x^3+ 5y\frac{\partial}{\partial x}x+ 2y^2\frac{\partial}{\partial x}1$$

$$= 2\times 3x^2+ 5y\times 1+ 2y^2\times 0 = 6x^2+5y$$

となり，$x$ に関する偏導関数が得られる． $y$ で偏微分すると，

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^3+5xy+2y^2) = \frac{\partial}{\... ...}{\partial y}1+ 5x\frac{\partial}{\partial y}y+ 2\frac{\partial}{\partial y}y^2$$

$$= 2x^3\times0+5x\times1+2\times2y =5x+4y$$

となり，$y$ に関する偏導関数が得られる．

例 2.27 (偏微分係数)   関数 $f(x,y)=2x^3+5xy+2y^2$ の点 $(1,-2)$ における偏微分係数は

$$f_x(1,-2)= 6x^2+5y\,\,\Big\vert _{x=1,y=-2} = 6\times 1^2+5\times(-2)=-4,$$

$$f_y(1,-2)= 5x+4y\,\,\Big\vert _{x=1,y=-2} = 6\times 1+4\times(-2)=-3$$

となる．

例 2.28 (偏微分)   関数 $f(x,y)=e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)$ の 偏導関数は，

$$f_x = (e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y))_x$$

$$= (e^{x-y})_x\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(\sin(2x^2-3xy+4y))_x$$

$$= e^{x-y}(x-y)_x\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(2x^2-3xy+4y)_x\cos(2x^2-3xy+4y)$$

$$= e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(4x-3y)\cos(2x^2-3xy+4y)$$

$$= e^{x-y}\left( \sin(2x^2-3xy+4y)+ (4x-3y)\cos(2x^2-3xy+4y)\right),$$

$$f_y = (e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y))_y$$

$$= (e^{x-y})_y\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(\sin(2x^2-3xy+4y))_y$$

$$= e^{x-y}(x-y)_y\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(2x^2-3xy+4y)_y\cos(2x^2-3xy+4y)$$

$$= -e^{x-y}\sin(2x^2-3xy+4y)+ e^{x-y}(-3x+4)\cos(2x^2-3xy+4y)$$

$$= -e^{x-y}\left(\sin(2x^2-3xy+4y)+(3x-4)\cos(2x^2-3xy+4y)\right)$$

となる．

問 2.29 (偏微分)   次の関数 $f(x,y)$ の偏導関数と点 $(1,-1)$ における偏微係数を求めよ．

$$(1)\quad f(x,y)=x^4-3x^2y^2+3y^4 \qquad (2)\quad f(x,y)=x^5+3x^4y^2+4xy^3+y^4$$

$$(3)\quad f(x,y)=e^{xy^2} qquad (4)\quad f(x,y)=\sin(2x+3y)$$

Kondo Koichi
平成18年1月18日