2.3 連続性

定義 2.15 (連続)   関数 $z=f(x,y)$ は次の条件(i), (ii), (iii)をみたすとき 点 $(a,b)$ で連続（continuous）であるという．

(i).

$f(a,b)$ が定義されている．

(ii).

極限 $${\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)}$$ が存在する．

(iii).

$${\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)}$$ が成り立つ．

例 2.16 (連続の具体例)   関数

$$f(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}} & ((x,y)\neq(0,0)) \\ [3ex] 0 & ((x,y)=(0,0)) \end{array} \right.$$

は原点 $(0,0)$ で連続であるか調べる． (i) $f(0,0)=0$ と定義されている． (ii) 前述の例題により，極限

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} =0$$

が存在する． (iii)    (i), (ii) より

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=f(0,0)$$

が成り立つ． 以上，(i), (ii), (iii)より 関数 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で連続である．

例 2.17 (不連続の具体例)   関数

$$f(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{xy}{x^2+y^2}} & ((x,y)\neq(0,0)) \\ [3ex] 0 & ((x,y)=(0,0)) \end{array} \right.$$

は原点 $(0,0)$ で連続であるか調べる． まず，極限が存在するか調べる． 直線 $y=mx$ に沿って近づけると，

$$\lim_{y=mx,x\to 0}f(x,y)= \lim_{x\to 0}f(x,mx)= \lim_{x\to 0}\frac{mx^2}{x^2+m^2x^2}= \lim_{x\to 0}\frac{m}{1+m^2}= \frac{m}{1+m^2}$$

となる． 直線の傾き $m$ が異なれば， 収束する値 $${\frac{m}{1+m^2}}$$ も異なる． よって $(x,y)\to(0,0)$ における極限は存在しない． 極限が存在しないので，原点 $(0,0)$ で $f(x,y)$ は連続ではない．

例 2.18 (不連続の具体例)   関数

$$f(x,y)=\frac{\sin(x+y)}{x+y} \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{(x,y)\neq(0,0)}\,\right\}$$

は原点 $(0,0)$ で連続であるか考える． まず， 前述の例題により，極限

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y} =1$$

が存在する． しかし，原点で値 $f(0,0)$ が定義されていない． よって関数 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で不連続である．

注意 2.19 (除きうる不連続点)   関数

$$f(x,y)=\frac{\sin(x+y)}{x+y}$$

は原点で不連続である． しかし，不連続点 $(0,0)$ において

$$f(0,0)=1$$

と定義する． すると，関数 $f(x,y)$ は

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=1$$

をみたし，原点 $(0,0)$ で連続となる． このように定義を加えることで連続となる 不連続点のことを 除きうる不連続点（removable discontinuity）という．

問 2.20 (連続)   次の関数 $f(x,y)$ は原点 $(0,0)$ で連続であるか述べよ． 除きうる不連続点の場合は， $f(x,y)$ が連続となるよう $f(0,0)$ を定義せよ．

(1)    $x^2+y$          (2)     $${\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$          (3)     $${\frac{x^2}{x^2+y^2}}$$          (4)     $${\frac{e^{x^2+y^2}}{x^2+y^2}}$$          (5)     $${\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}}$$

Kondo Koichi
平成18年1月18日