16 線形写像の階数と退化次数

定義 2.67 (退化次数，階数)   像 $\mathrm{Im}(f)$ の次元を階数（rank）といい，

$$\mathrm{rank}\,(f)=\dim(\mathrm{Im}(f))$$

と定義する． また，核 $\mathrm{Ker}(f)$ の次元を退化次数（nullity）といい，

$$\mathrm{null}(f)=\dim(\mathrm{Ker}(f))$$

と定義する．

定理 2.68 (退化次数，階数)   線形写像 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m;\vec{y}=A\vec{x}$ の階数は

$$\mathrm{rank}\,(f)=\mathrm{rank}\,(A)$$

であり，退化次数は

$$\mathrm{null}(f)=n-\mathrm{rank}\,(A)$$

である．

（証明）    

定理 2.69 (退化次数，階数)   線形写像 $f:U\to V$ に関して

$$\mathrm{null}(f)+\mathrm{rank}\,(f)=\dim(U)$$

が成立する．

（証明）    

例 2.70 (線形写像の像と核の具体例)   線形写像

$$f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3; \qquad \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$$

$$A= \begin{bmatrix}2 & -1 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & -1 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

の像 $\mathrm{Im}(f)$，核 $\mathrm{Ker}(f)$ と それらの次元 $\mathrm{rank}\,(f)$, $\mathrm{null}(f)$ を求める．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13