11 直交行列

定義 2.47 (直交行列)   正方行列 $A$ が

$$A{A}^{T}={A}^{T}A=E$$

をみたすとき $A$ を 直交行列（orthogonal matrix）という．

定理 2.48 (直交行列の行列式)   直交行列の行列式は

$$\det(A)=\pm 1$$

である．

（証明）     $A{A}^{T}=E$ より，両辺の行列式をとると

$$\det(A{A}^{T})=\det(A)\det({A}^{T})=(\det(A))^2=\det(E)=1$$

となるので $\det(A)=\pm1$ を得る．

定理 2.49 (直交行列の正則性)   直交行列は正則である．

（証明）     $\det(A)=\pm1\ne0$ であるから．

定理 2.50 (直交行列の逆行列)   直交行列の逆行列は

$$A^{-1} ={A}^{T}$$

である．

（証明）     $A$ は正則であるか $A^{-1}$ を $A{A}^{T}=E$ に左から掛けると

$$A^{-1}A{A}^{T} =A^{-1}E$$

$${A}^{T} =A^{-1}$$

を得る．

定理 2.51 (直交行列の積)   直交行列の積もまた直交行列である．

（証明）    

$$AB{(AB)}^{T}=A(B{B}^{T}){A}^{T}=AEA{A}^{T}=A{A}^{T}=E.$$

定理 2.52 (直交行列と正規直交系)   直交行列の列ベクトルまたは行ベクトルは正規直交系である．

（証明）     直交行列 $A$ を列ベクトル

$$A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$$

とおく． $A{A}^{T}=E$ より，

$$A{A}^{T} = \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n}... ...}_{n}{\vec{a}_{2}}^{T} & \cdots & \vec{a}_{n}{\vec{a}_{n}}^{T} \\ \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}(\vec{a}_{1},\vec{a}_{1}) & (\vec{a}_{1},\vec{a}... ... & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =E$$

となるので，

$$(\vec{a}_{i},\vec{a}_{j})=\delta_{ij}$$

を得る．

例 2.53 (直交行列の具体例)   $A$: $2\times2$ の直交変換は

$$A = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\th... ...in{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \\ \end{bmatrix}$$

のみである．

問 2.54 (直交行列)   行列

$$A= \begin{bmatrix}1 & a & a \\ a & c & -b \\ a & b & c \end{bmatr... ...x}, \qquad C= \begin{bmatrix}c & -b & a \\ b & c & a \\ a & a & 1 \end{bmatrix}$$

が直交行列となるように $a,b,c$ を定めよ．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13