21 グラム・シュミットの直交化法

定義 1.95 (正規直交化)   ベクトル空間

$$V=<\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{n}>$$

の基底を取り替えて

$$V=<\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}>$$

とする． このとき $\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ が 正規基底となるとき， この操作を正規化（normalize）という． 直交基底となるとき，直交化（orthogonalize）という． 正規直交基底となるとき，正規直交化（orthonormalize）という．

定理 1.96 (正規化)   ベクトル空間 $V$ の 基底 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に対して 次の式で定まる $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$ は 正規基底となる：

$$\vec{u}_1=\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}, \qquad \vec{u}_2... ...Vert}, \qquad \cdots, \qquad \vec{u}_n=\frac{\vec{v}_n}{\Vert\vec{v}_n\Vert}\,.$$

定理 1.97 (グラム・シュミットの直交化法)   ベクトル空間 $V$ の基底 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$ に 対して次の式で定まる $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$ は $V$ の正規直交基底となる． この手法をグラム・シュミットの直交化法という．

$$\vec{v}'_1 =\vec{v}_1, \vec{u}_1 =\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert},$$

$$\vec{v}_2' = \vec{v}_2-(\vec{v}_2,\vec{u}_1)\vec{u}_1, \vec{u}_2 =\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert},$$

$$\vec{v}_3' = \vec{v}_3-(\vec{v}_3,\vec{u}_2)\vec{u}_2- (\vec{v}_3,\vec{u}_1)\vec{u}_1, \vec{u}_3 =\frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert},$$

$$\vec{v}_4' = \vec{v}_4- (\vec{v}_4,\vec{u}_3)\vec{u}_3- (\vec{v}_4,\vec{u}_2)\vec{u}_2- (\vec{v}_4,\vec{u}_1)\vec{u}_1, \vec{u}_4 =\frac{\vec{v}'_4}{\Vert\vec{v}'_4\Vert},$$

$$\qquad \vdots \vdots$$

$$\vec{v}_n' = \vec{v}_n- \sum_{k=1}^{n-1}(\vec{v}_n,\vec{u}_k)\vec{u}_k, \vec{u}_n =\frac{\vec{v}'_n}{\Vert\vec{v}'_n\Vert}.$$

（証明）    

例 1.98 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の基底

$$\vec{v}_1= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \vec{... ...\\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{v}_3= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

を正規直交化する． グラム・シュミットのの直交化法より，

$$\vec{u}_1=\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_2'=\vec{v}_2-(\vec{v}_2,\vec{u}_1)\vec{u}_1= \begin{bmatr... ...n{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_2=\frac{\vec{v}'_2}{\Vert\vec{v}'_2\Vert}= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$$

$$\vec{v}_3'= \vec{v}_3-(\vec{v}_3,\vec{u}_2)\vec{u}_2- (\vec{v}_3,\vec{u}_1)\vec{u}_1$$

$$= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}- \left( \begin{bmatri... ...nd{bmatrix} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}+ \frac{2}{3} \begin{b... ...\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}= \frac{5}{6} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix},$$

$$\vec{u}_3=\frac{\vec{v}'_3}{\Vert\vec{v}'_3\Vert}= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

となる． 以上よりベクトル

$$\vec{u}_1= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bma... ... \qquad \vec{u}_3= \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

は

$$(\vec{u}_i,\vec{u}_j)=\delta_{ij}$$

をみたし， $\mathbb{R}^3$ の正規直交基底となる．

Kondo Koichi
Created at 2004/12/13